【训练题19：概率DP】One Person Game | ZOJ3329
作者：互联网
难度
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有一说一，是一道经典概率DP题，个人感觉至少省赛题。
但是看其他博客都是随便秒过的 ？？？
题意
你有三个骰子，分别有 K 1 , K 2 , K 3 K_1,K_2,K_3 K1,K2,K3面，每面投掷到的概率都相等，面上标号数字为 1 ∼ K i 1\sim K_i 1∼Ki
一开始，你的分数为
0
0
0。
每轮：你同时投掷三个骰子，如果第一个骰子顶面为
a
a
a 面 ， 第二个骰子顶面为
b
b
b 面, 第三个顶面骰子为
c
c
c 面 ，那么你的分数归零。否则，你的分数增加三个骰子的顶面的和。
如果你的分数超过
n
n
n，游戏结束
问你：游戏开始到游戏结束，你的投掷骰子次数的期望为多少？
要求答案误差
∣
e
p
s
∣
<
1
0
−
8
|eps|<10^{-8}
∣eps∣<10−8
样例输入
组数，
T
T
T
n
K
1
K
2
K
3
a
b
c
n\ K_1\ K_2\ K_3\ a\ b\ c
n K1 K2 K3 a b c
2 0 2 2 2 1 1 1 0 6 6 6 1 1 1 2\\ 0\ 2\ 2\ 2\ 1\ 1\ 1\\ 0\ 6\ 6\ 6\ 1\ 1\ 1 20 2 2 2 1 1 10 6 6 6 1 1 1
样例输出
1.142857142857143 1.004651162790698 1.142857142857143\\ 1.004651162790698 1.1428571428571431.004651162790698
思路
- 首先，我们按照前人的经验，期望得倒着推。
- 设 e ( i ) \color{cyan}e(i) e(i) 表示目前分数为 i i i ， 到游戏结束时的投掷次数的期望。
- 设 f ( i ) \color{cyan}f(i) f(i) 表示三个骰子投掷出点数和为 i i i 的概率。
- 特别地，设 f ( 0 ) f(0) f(0) 表示投掷后，第一个骰子顶面为 a a a 面 ， 第二个骰子顶面为 b b b 面, 第三个顶面骰子为 c c c 面的概率。即，每次分数归零的概率。
- 目前分数为
i
i
i ， 我们投掷一次之后三面骰子分别为
w
1
,
w
2
,
w
3
w_1,w_2,w_3
w1,w2,w3
- 下次的分数可能为 i + w 1 + w 2 + w 3 i+w_1+w_2+w_3 i+w1+w2+w3，这个概率为 f ( w 1 + w 2 + w 3 ) f(w_1+w_2+w_3) f(w1+w2+w3)
- 下次的分数可能为 0 0 0 ，就是归零了，这个概率为 f ( 0 ) f(0) f(0)
- 易得，如果已经分数超过
n
n
n 了，那么游戏直接结束，投掷次数期望为0，即：
- e ( > n ) = 0 e(>n)=0 e(>n)=0
- 我们最终的答案即为 e ( 0 ) e(0) e(0)
- 我们写成式子就是 e ( i ) = ∑ K 1 + K 2 + K 3 k = 1 f ( k ) e ( i + k ) + f ( 0 ) e ( 0 ) + 1 \color{red}e(i)=\underset{k=1}{\overset{K_1+K_2+K_3}{\sum}} f(k)e(i+k) + f(0)e(0)+1 e(i)=k=1∑K1+K2+K3f(k)e(i+k)+f(0)e(0)+1
- （加一是因为多投掷了一次）
- 注意到，我们期望是逆推的 ( i i i 从大到小)，答案为 e ( 0 ) e(0) e(0)，但是其中每一个递推式子都包括 e ( 0 ) e(0) e(0)，这就很头疼了！
【注】如果 e ( i ) e(i) e(i) 每一项递推式是关于 e ( x ) ∧ ( x ≥ i ) e(x)\wedge (x\ge i) e(x)∧(x≥i)，我们可以把递推式子的右边的 e ( i ) e(i) e(i) 项拎出来放在左边，然后转化为一个左边只有 e ( i ) e(i) e(i) ， 右边关于 e ( x ) ∧ ( x > i ) e(x)\wedge (x> i) e(x)∧(x>i)的式子，可以直接递推。
这 题 的 套 路 做 法 \color{red}这题的套路做法 这题的套路做法
- 设 e ( i ) = a ( i ) e ( 0 ) + b ( i ) \color{cyan}e(i)=a(i)e(0)+b(i) e(i)=a(i)e(0)+b(i)
- 我们带入上述式子，得到：
e ( i ) = ∑ f ( k ) e ( i + k ) + f ( 0 ) e ( 0 ) + 1 = ∑ f ( k ) ( a ( i + k ) e ( 0 ) + b ( i + k ) ) + f ( 0 ) e ( 0 ) + 1 = ( ∑ f ( k ) a ( i + k ) + f ( 0 ) ) e ( 0 ) + ( ∑ f ( k ) b ( i + k ) + 1 ) = a ( i ) e ( 0 ) + b ( i ) \begin{aligned}e(i)&=\sum f(k)e(i+k)+f(0)e(0)+1\\ &=\sum f(k)\Big( a(i+k)e(0)+b(i+k) \Big)+f(0)e(0)+1\\ &=\Big(\sum f(k)a(i+k)+f(0)\Big)e(0)+\Big( \sum f(k)b(i+k)+1 \Big)\\ &=a(i)e(0)+b(i) \end{aligned} e(i)=∑f(k)e(i+k)+f(0)e(0)+1=∑f(k)(a(i+k)e(0)+b(i+k))+f(0)e(0)+1=(∑f(k)a(i+k)+f(0))e(0)+(∑f(k)b(i+k)+1)=a(i)e(0)+b(i) - 我们得到了：
{ a ( i ) = ∑ f ( k ) a ( i + k ) + f ( 0 ) b ( i ) = ∑ f ( k ) b ( i + k ) + 1 \begin{cases} \color{red}a(i)=\sum f(k)a(i+k)+f(0)\\ \color{red}b(i)=\sum f(k)b(i+k)+1 \end{cases} {a(i)=∑f(k)a(i+k)+f(0)b(i)=∑f(k)b(i+k)+1 - 注意到 e ( x > n ) = a ( x ) e ( 0 ) + b ( x ) = 0 e(x>n)=a(x)e(0)+b(x)=0 e(x>n)=a(x)e(0)+b(x)=0
- 我们得到 a ( > n ) = b ( > n ) = 0 a(>n)=b(>n)=0 a(>n)=b(>n)=0
- 最后答案为 e ( 0 ) = a ( 0 ) e ( 0 ) + b ( 0 ) e(0)=a(0)e(0)+b(0) e(0)=a(0)e(0)+b(0)，即：
- 最终答案为 e ( 0 ) = b ( 0 ) 1 − a ( 0 ) \color{red}e(0)=\frac{b(0)}{1-a(0)} e(0)=1−a(0)b(0)
其他的细节可以参考一下代码。
核心代码
时间复杂度 O ( K 1 K 2 K 3 + n 2 ) O(K_1K_2K_3+n^2) O(K1K2K3+n2)
/*
_ __ __ _ _
| | \ \ / / | | (_)
| |__ _ _ \ V /__ _ _ __ | | ___ _
| '_ \| | | | \ // _` | '_ \| | / _ \ |
| |_) | |_| | | | (_| | | | | |___| __/ |
|_.__/ \__, | \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
__/ |
|___/
*/
const int MAX = 550;
double a[MAX];
double b[MAX];
double f[MAX];
int main()
{
int KASE;
while(cin >> KASE){
while(KASE--){
int n,k1,k2,k3,aa,bb,cc;
cin >> n >> k1 >> k2 >> k3 >> aa >> bb >> cc;
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i = 1;i <= k1;++i)
for(int j = 1;j <= k2;++j)
for(int k = 1;k <= k3;++k) /// 注意算 f(x)时候不要把归零的答案算进去了
if(i != aa || j != bb || k != cc)f[i+j+k] += 1.0 / k1 / k2 / k3;
double f0 = 1.0 / k1 / k2 / k3;
for(int i = n;i >= 0;--i){
double t1 = f0,t2 = 1.0;
for(int k = 3;i + k <= n;++k){
t1 += f[k] * a[i + k];
t2 += f[k] * b[i + k];
}
a[i] = t1;
b[i] = t2;
}
printf("%.15f\n",b[0] / (1.0 - a[0]));
}
}
return 0;
}
标签：__,分数,骰子,ZOJ3329,19,sum,Person,投掷,color 来源： https://blog.csdn.net/weixin_45775438/article/details/110939643