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实数、虚数和复数

作者:互联网

实数


我们想象到的数差不多都是实数。   实数包括:   什么不是实数: 实数直线(用几何直线来描述实数):

实数是相对虚数来说的,直到有虚数后,才把非虚数叫做实数。  

虚数


虚数的定义:虚数的平方是负数。如:

但是,正数的平方是正数、负数的平方也是正数,也就是一个数的平方永远是正数或零。   那么虚数有什么用?可以用来做什么?   我们可以假设有这样的数,称之为 i:  

i * i = -1

两边开平方根得到

也就是 i 是 -1 的平方根。   如果我们接受了 i 的存在,就可以解答很多牵涉到负数平方根的问题了。   例子:-9的平方根是多少?   解答: √−9  = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i   所以,负数的平方根等于该数为正时的平方根乘以 i:  

√(−x) = i√x

有了虚数后,我们就可以解开一些之前无法求解的方程。   例子:解  x 2  = −1。  

解:

x = ± √(−1)

x = ± i

检验结果:

(−i)2 = (−i)(−i) = +i2 = −1

(+i)2 = (+i)(+i) = +i2 = −1

  实数的“单位”是 1,虚数的“单位”是 √(−1),在数学中用 i 表示虚数。   虚数的用处?   虚数和实数结合在一起成为了复数,复数的用途非常广大。  

虚数有趣的属性   虚数单位 i  有个有趣的属性。它自乘的积在四个答案里"循环重复":

结论: 虚数不是"虚"幻的,它实际存在,并且非常有用。    

复数


复数是实数和虚数的组合:

  如: 1 + i、 39 + 3i、 0.8 − 2.2i、  −2 +  π i、  √2 + i/2   注意:复数是两个数加起来的,一个是实数部分,一个是虚数部分。 但这两部分都可以是  0 ,所以所有实数和虚数都是复数。   复数的直观解释   实数直线是从 左向右 的, 虚数就是从上到下, 复数平面 :

一个复数是在复数平面上的一点:

复数的加法  

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

例子:3 + 5i 加 4 − 3i    

  复数的乘法  

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

简便计算:  

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

共轭   复数的除法需要用到共轭。   共轭是把中间的正负号改变,像这样

共轭的一般符号是上面放一条横线:  

5 − 3i   =   5 + 3i

复数的除法   技巧是把 上面和下面 都乘以 下面的共轭 。   例子:

解:

简便计算:  

(a + bi)(a − bi) = a2 + b2

解:

  复数的用处?   1)频谱分析仪: 播放音乐时时常会看到的频谱显示就是用复数计算出来的,使用的数学技巧叫 "傅里叶变换"。  

2)电学: 当我们把两个不对称的交流电合并时,计算合并后的电流是 非常困难 的。 但是,利用复数就可以使得计算简单很多。  

3) 曼德勃罗特集: 美丽的曼德勃罗特集是基于复数的。  

 

标签:实数,bi,3i,复数,平方根,虚数
来源: https://blog.csdn.net/hlzgood/article/details/110660281