第11节 隐式有限差分法计算期权价格

• 11.1 简介
• 11.2 计算美式看跌期权价格算法
• 11.3 算法Python代码实现
• 11.4 参考资料

11.1 简介

       
我们这里也以美式看跌期权为例。类似显示有限差分法，我们也先将微分方程表示为差分形式。只是这时 ∂ f ∂ t ( i , j ) \frac{\partial f}{\partial t}(i,j) ∂t∂f​(i,j)的表示是向前近似。首先同样的，我们让
Δ S = S m a x M ,    Δ t = T N ,    S m a x = 3 S 0 ,    f ( i , j ) = f ( i Δ t , j Δ S ) ,    S ( i , j ) = j Δ S    . \Delta S = \frac{S_{max}}{M}, \; \Delta t = \frac{T}{N},\; S_{max} = 3S_0,\; f(i,j) = f(i\Delta t, j\Delta S),\;S(i,j)= j\Delta S\;. ΔS=MSmax​​,Δt=NT​,Smax​=3S0​,f(i,j)=f(iΔt,jΔS),S(i,j)=jΔS.
然后由
∂ f ∂ t ( i , j ) + r S ( i , j ) ∂ f ∂ S ( i , j ) + 1 2 σ 2 S 2 ( i , j ) ∂ 2 f ∂ S 2 ( i , j ) = r f ( i , j )    , \frac{\partial f}{\partial t}(i, j) +rS(i,j)\frac{\partial f}{\partial S}(i,j)+\frac{1}{2}\sigma^2S^2(i,j)\frac{\partial^2f}{\partial S^2}(i,j)=rf(i,j)\;, ∂t∂f​(i,j)+rS(i,j)∂S∂f​(i,j)+21​σ2S2(i,j)∂S2∂2f​(i,j)=rf(i,j),
∂ f ∂ t ( i , j ) = f ( i + 1 , j ) − f ( i , j ) Δ t    , \frac{\partial f}{\partial t}(i,j) = \frac{f(i+1,j)-f(i,j)}{\Delta t}\;, ∂t∂f​(i,j)=Δtf(i+1,j)−f(i,j)​,
∂ f ∂ S ( i , j ) = f ( i , j + 1 ) − f ( i , j − 1 ) 2 Δ S    , \frac{\partial f}{\partial S}(i,j) = \frac{f(i,j+1)-f(i,j-1)}{2\Delta S}\;, ∂S∂f​(i,j)=2ΔSf(i,j+1)−f(i,j−1)​,
∂ 2 f ∂ S 2 ( i , j ) = f ( i , j + 1 ) + f ( i , j − 1 ) − 2 f ( i , j ) Δ S 2    . \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}(i,j) = \frac{f(i,j+1)+f(i,j-1)-2f(i,j)}{\Delta S^2}\;. ∂S2∂2f​(i,j)=ΔS2f(i,j+1)+f(i,j−1)−2f(i,j)​.
得到
f ( i + 1 , j ) = a j f ( i , j − 1 ) + b j f ( i , j ) + c j f ( i , j + 1 )    , f(i+1,j)=a_jf(i,j-1)+b_jf(i,j)+c_jf(i,j+1)\;, f(i+1,j)=aj​f(i,j−1)+bj​f(i,j)+cj​f(i,j+1),
a j = 1 2 r j Δ t − 1 2 σ 2 j 2 Δ t    , a_j = \frac{1}{2}rj\Delta t-\frac{1}{2}\sigma^2j^2\Delta t\;, aj​=21​rjΔt−21​σ2j2Δt,
b j = 1 + r Δ t + σ 2 j 2 Δ t    , b_j = 1+r\Delta t+\sigma^2j^2\Delta t\;, bj​=1+rΔt+σ2j2Δt,
c j = − 1 2 r j Δ t − 1 2 σ 2 j 2 Δ t    . c_j = -\frac{1}{2}rj\Delta t-\frac{1}{2}\sigma^2j^2\Delta t\;. cj​=−21​rjΔt−21​σ2j2Δt.
然后对于所有 i i i时刻的 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)和所有 i + 1 i+1 i+1时刻的 f ( i + 1 , j ) f(i+1,j) f(i+1,j)就会有关系：
( b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ⋱ ⋱ ⋱ a M − 2 b M − 2 c M − 2 a M 1 b M − 1 ) ⋅ ( f ( i , 1 ) f ( i , 2 ) f ( i , 3 ) ⋮ f ( i , M − 2 ) f ( i , M − 1 ) ) = ( f ( i + 1 , 1 ) − a 1 f ( i , 0 ) f ( i + 1 , 2 ) f ( i + 1 , 3 ) ⋮ f ( i + 1 , M − 2 ) f ( i + 1 , M − 1 ) − c M − 1 f ( i , M ) )    . \left(\begin{array}{cccccc} b_1 & c_1 & \quad &\quad &\quad &\quad \\ a_2 & b_2 & c_2 & \quad & \quad & \quad \\ \quad & a_3 & b_3 & c_3 & \quad & \quad\\\quad&\quad&\ddots&\ddots&\ddots&\quad\\ \quad & \quad & \quad & a_{M-2} & b_{M-2} & c_{M-2}\\\quad & \quad &\quad &\quad & a_{M_1} & b_{M-1}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}f(i,1)\\f(i,2)\\ f(i,3) \\ \vdots \\ f(i,M-2)\\ f(i,M-1)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}f(i+1,1)-a_1f(i,0)\\f(i+1,2)\\f(i+1,3)\\ \vdots \\ f(i+1,M-2)\\ f(i+1,M-1)-c_{M-1}f(i,M)\end{array}\right)\;.\\ ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​b1​a2​​c1​b2​a3​​c2​b3​⋱​c3​⋱aM−2​​⋱bM−2​aM1​​​cM−2​bM−1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​f(i,1)f(i,2)f(i,3)⋮f(i,M−2)f(i,M−1)​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​f(i+1,1)−a1​f(i,0)f(i+1,2)f(i+1,3)⋮f(i+1,M−2)f(i+1,M−1)−cM−1​f(i,M)​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​.
我们可以将其记为
M ⋅ F i = F i + 1    . M\cdot F_i = F_{i+1} \; . M⋅Fi​=Fi+1​.
其中 M ,   F i + 1 M,\,F_{i+1} M,Fi+1​都是已知的， F i F_i Fi​为上一时刻除边界外的未知价格。对 M M M求逆后，我们有
F i = M − 1 F i + 1    . F_i = M^{-1}F_{i+1} \; . Fi​=M−1Fi+1​.
       
然后加上上下边界 f ( i , M ) = 0 ,    f ( i , 0 ) = K f(i,M)=0,\; f(i,0)=K f(i,M)=0,f(i,0)=K，即得到由差分关系递推出的 i i i时刻期权价格。然后考虑在每个格点处是否应该执行美式看跌期权，就完成了一次美式看跌期权价格的递推。这样重复进行到初始时刻，即可得到隐式差分法计算的美式看跌期权价格。

11.2 计算美式看跌期权价格算法

1. 确定时间和股价变化范围， 0 ≤ t ≤ T ,    0 ≤ S ≤ S m a x ,    S m a x = 3 S 0 0\leq t\leq T,\; 0\leq S\leq S_{max},\;S_{max}=3S_0 0≤t≤T,0≤S≤Smax​,Smax​=3S0​，并将区间离散化为二维等间距网格点， Δ t = T / N ,    Δ S = S m a x / M \Delta t = T/N, \; \Delta S = S_{max}/M Δt=T/N,ΔS=Smax​/M。
2. 确定 T T T时刻期权价格 f ( N , j ) = max ⁡ ( 0 , K − j Δ S ) f(N,j) = \max{(0, K-j\Delta S)} f(N,j)=max(0,K−jΔS)。
3. 往上一时刻递推。由 F i = M − 1 F i + 1 F_i = M^{-1}F_{i+1} Fi​=M−1Fi+1​，先计算出 M M M和 F i + 1 F_{i+1} Fi+1​，再求出 M − 1 M^{-1} M−1，即得到 F i = ( f ( i , 1 ) , f ( i , 2 ) , . . . , f ( i , M − 1 ) ) T F_i = (f(i,1),f(i,2),...,f(i,M-1))^T Fi​=(f(i,1),f(i,2),...,f(i,M−1))T，加上上下股价边界边界条件 f ( i , 0 ) = K ,    f ( i , M ) = 0 f(i,0)=K,\;f(i,M)=0 f(i,0)=K,f(i,M)=0，就得出 i i i时刻所有股价对应的 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j)。
4. 考虑应不应该在 i i i时刻的格点处执行美式看跌期权，即更新 f ( i , j ) = max ⁡ ( f ( i , j ) , K − Δ S j ) f(i,j) = \max{(f(i,j), K-\Delta Sj)} f(i,j)=max(f(i,j),K−ΔSj)。
5. 重复步骤3、4直到初始时刻，然后使用线性插值法得出 S = S 0 S=S_0 S=S0​处的期权价格。

11.3 算法Python代码实现

import numpy as np

def American_put_implicit(r, sigma, S_0, K, T, M, N):
    dS = 3*S_0/M
    dt = T/N

    # 将 a_j, b_j, c_j 写为3个函数。
    a = lambda j: 0.5*r*j*dt-0.5*sigma*sigma*j*j*dt
    b = lambda j: 1+r*dt+sigma*sigma*j*j*dt
    c = lambda j: -0.5*r*j*dt-0.5*sigma*sigma*j*j*dt

    # f1 和 f2 为两列用来迭代计算的期权价格。
    f1 = [max(K-i*dS, 0.0) for i in range(M+1)]
    f2 = [None for i in range(M+1)]
    # coeffs 为上文中的 M 系数矩阵。
    coeffs = np.zeros((M-1, M-1))

    for i in range(N-1, -1, -1):
        f2 = list(f1)
        coeffs[0][0] = b(1)
        coeffs[0][1] = c(1)
        coeffs[M-2][M-2] = b(M-1)
        coeffs[M-2][M-3] = a(M-1) 
        for j in range(2, M-1, 1):
            coeffs[j-1][j-2] = a(j)
            coeffs[j-1][j-1] = b(j)
            coeffs[j-1][j] = c(j)
        # 参数矩阵求逆。
        coeffs_inv = np.linalg.inv(coeffs)
        F2 = f2[1:-1]
        F2[0] -= a(1)*K
        F1 = np.matmul(coeffs_inv, F2)
        
        f1[1:M] = F1
        f1[0] = K
        f1[M] = 0
        
        # 判断是否执行美式看跌期权。
        f1 = np.maximum(f1, K-np.linspace(0, M, M+1)*dS)

    pos = int(S_0/dS)
    put_price = f1[pos] + (f1[pos+1]-f1[pos])/dS*(S_0-pos*dS)

    return put_price

# 计算例子。
if __name__ == "__main__":
    put_price = American_put_implicit(0.1, 0.4, 50, 50, 5/12.0, 300, 300)
    print("American put price: {0:0.5f}".format(put_price))

American put price: 4.27847

11.4 参考资料

1. 《期权、期货及其他衍生产品》，John C. Hull 著，王勇、索吾林译。

标签：11,frac,max,差分法,Delta,coeffs,quad,隐式,partial
来源： https://blog.csdn.net/weixin_49544040/article/details/110479560