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作者：互联网
FRITZ JOHN条件
1 Fritz John 条件
多目标可微规划问题:
\[\begin{aligned} (VP) ~ ~ ~ \min &~ ~ ~ f(x)\\\text{s.t.} &~ ~ ~ g(x)\leqq 0\\ &~ ~ ~ h(x)=0\\ &~ ~ ~x ∈ F \end{aligned} \]其中，$ F={x ∈ R^n|g (x ) \leqq0, h ( x ) = 0}$
\(R^n\)中 ,设 $T∶= (a_1 ,… , a_n ) ,U ∶= (b_1 ,… , b_n ) $,记
\[T\leqq U \Leftrightarrow a_1 \leqq b_1 ,… , a_n\leqq b_n ;\\ T< U \Leftrightarrow a_1 < b_1 ,… , a_n< b_n ;\\ T\leq U \Leftrightarrow T\leqq U 且 T≠ U. ; \]\(x _0∈ F\)称为 (V P )的有效解 ,如果不存在 \(x _0∈ F\),使$ f (x )≤ f (x_ 0 )$ ,即不存在 \(x _0∈ F\) ,使$ f ( x )\leqq f ( x _0 )$且 \(f (x )≠f (x _0 )\).
- 可微函数$ h: C→ R$称为在 \(x_0∈ C\)是 Z--- 凸的 ,如果存在函数 \(Z∶C×C→R^n\), \(\forall x∈ C\),有
其中\(〈· ,· 〉\)表示内积 .
- 可微函数$ h: C→ R$称为在 \(x_0∈ C\)是 Z--- 拟凸的 ,如果存在函数 \(Z∶C×C→R^n\), \(\forall x∈ C\),有
或等价地 ,
\[ 〈Z( x , x _0 ) , \bigtriangledown h(x _0 )〉> 0 \rightarrow h(x )> h(x_0 ) , \]- 可微函数$ h: C→ R$称为在 \(x_0∈ C\)是 Z--- 伪凸的 ,如果存在函数 \(Z∶C×C→R^n\), \(\forall x∈ C\),有
或等价地 ,
\[〈Z( x , x _0 ) , \bigtriangledown h(x _0 )〉\geqq 0 \rightarrow h(x )\geqq h(x_0 ) , \]- 可微函数$ h: C→ R$称为在 \(x_0∈ C\)是 Z--- 严格伪凸的 ,如果存在函数 \(Z∶C×C→R^n\), \(\forall x∈ C,x\neq x_0\),有
或等价地 ,
\[〈Z( x , x _0 ) , \bigtriangledown h(x _0 )〉\geqq 0 \rightarrow h(x )> h(x_0 ) , \]设\(x _0∈ F\),称问题$ ( V P)$在 \(x_0\) 适合 Fritz John 条件 ,是指存在$ ( w , u, v )∈ R^p× R^m× R^k$ ,使\(x∈ R^n\),有
\[w^T \bigtriangledown f (x_ 0 ) + u^T \bigtriangledown g ( x_0 ) + v^T \bigtriangledown h (x _0 ) = 0, \tag1 \\ \]\[u^T g ( x_0 ) = 0\tag2 \]\[(w , u )\geqq 0, (w , u , v ) ≠ 0\tag3 \]如果 ( 3)改为
\[w ≥ 0, u≥ 0,\tag4 \]则称 (V P)在 \(x_0\) 适合\(KKT\)条件 .
标签：可微,12,函数,bigtriangledown,leqq,geqq,rightarrow 来源： https://www.cnblogs.com/liangjiangjun/p/14022647.html