[NOI2013]矩阵游戏（数列通项+费马小定理）

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Analysis

先把单独一行拿出来看，设 \(f_1\) 是这一行的第一个元素，有 \(f_i=f_{i-1}*a+b\)。所以 \(f_m=f_1a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\)。如果不会的可以再去补一下高中数学。

然后设 \(g_i\) 是第 \(i\) 行的 \(f_m\)，有 \(g_i=(g_{i-1}c+d)a^{m-1}+\frac{a^{i-1}-1}{a-1}b\)，然后换个元又变成上面的式子，搞一搞就出来了。

但是 \(n,m\) 太大怎么搞？我们有一个费马小定理，\(a^{p-1}=1\pmod p,a<p\)。然后就可以降到 \(p\) 以下了。

坑点：注意 \(a=1\) 时等比数列求和公式不存在，需要特判，而次时又需要模 \(p\) 的 \(n,m\)，所以 \(n,m\) 两个都要模。

namespace Solve{
	const long long mod = 1e9 + 7;
	const int MAXL = 1000010;
	static char n[MAXL], m[MAXL];
	static int lenn, lenm;
	static long long a, b, c, d;
	long long ksm(long long x, long long y) {
		long long ret = 1;
		while (y) {
			if (y & 1) ret = (ret * x) % mod;
			x = (x * x) % mod;
			y >>= 1;
		}
		return ret;
	}
	void BruteForcePlus() {
		long long MOD = mod - 1;
		long long nn = 0, mm = 0;
		long long nnn = 0, mmm = 0;
		for (int i = 1; i <= lenn; i++) nn = (nn * 10 + n[i] - '0') % MOD, nnn = (nnn * 10 + n[i] - '0') % mod;
		for (int i = 1; i <= lenm; i++) mm = (mm * 10 + m[i] - '0') % MOD, mmm = (mmm * 10 + m[i] - '0') % mod;
		if (nn == 0) nn = MOD;
		if (mm == 0) mm = MOD;
		long long y = c * ksm(a, mm - 1) % mod;
		long long x = ((ksm(a, mm - 1) - 1 + mod) * ksm(a - 1, mod - 2) % mod * b % mod + d * ksm(a, mm - 1) % mod) % mod;
		long long ans = (ksm(a, mm - 1) + (ksm(a, mm - 1) - 1 + mod) * ksm(a - 1, mod - 2) % mod * b % mod) % mod;
		if (a == 1) {
			x = ((mmm - 1) * b % mod + d + mod) % mod;
			ans = (1 + (mmm - 1) * b % mod + mod) % mod;
		}
		if (y == 1) ans = (ans + x * (nnn - 1) % mod + mod) % mod;
		else ans = (ans * ksm(y, nn - 1) % mod + (ksm(y, nn - 1) - 1 + mod) * ksm(y - 1, mod - 2) % mod * x % mod) % mod;
		print(ans);
	}
	void MAIN() {
		scanf("%s%s", n + 1, m + 1);
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
		lenn = strlen(n + 1);
		lenm = strlen(m + 1);
		BruteForcePlus();
	}
} using namespace Solve;

标签：long,费马,int,ret,static,通项,MAXL,NOI2013,mod
来源： https://www.cnblogs.com/zcr-blog/p/13715290.html