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向量点积与叉积

作者:互联网

1 向量点积

    向量点积度量两向量的相似度,可以分别从直角坐标与极坐标角度进行理解。

    向量  点积可被分解为两个方向的乘积之和,如下图:

    

     通俗的说,假如 x 方向表示苹果,y 方向表示橙子, 表示有  个苹果, 个橙子,对苹果乘以 ,对橙子乘以 ,最终得到  个水果;

     从极坐标角度来看,表示一个方向上能量被增强了多少,如下图:

      

     不管从直角坐标角度还是从极坐标角度,都有以下结论:

      1)当两向量同向时,点积值最大;

      2)当两向量反向时,点积值最小;

      3)当两向量垂直式,点积为零;

      以上分别从直角坐标与极坐标角度讨论了两向量的相似度,那么以上两种表示得到的结果是一致的吗?下面给出讨论:

      

      如上图所示,由于向量 b 与向量 e 正交,有 ,可求解 

      带入向量 p 得 

      因此,两种表示得到相同的结果。

 

2 向量叉积

    与向量点积相反,向量叉积度量两向量的差异性,数值  表示两向量的差异性。

    1)当两向量同向时,数值  为零,两向量差异为零;

     2)当两向量反向时,数值  为零,两向量差异为零;

     3)当两向量垂直式,数值  最大,两向量差异最大;

           如两向量的构成平行四边形的面积等于 ,当两向量正交时,构成平行四边形面积最大。

     以上讨论中,情形 1)与 2)产生的同样的结果,表明一个固定向量可以与两个不同向量产生相同叉积,这两个不同向量与固定向量的夹角为互补关系。

     在点积情形中,不存在如此情况。

     仅使用数值表示两向量的差异性,其携带的信息量仍然不够。

    考虑X,Y,Z 轴上单位向量 (x,y,z), x 与 y 的差异性为 1,x 与 z 的差异性也为 1,使用方向信息可区分两种不同差异。

    定义x 与 y 的差异方向为同时垂直于 x 与 y,即 z;同理,x 与 z 的差异方向同时垂直于 x 与 z;

    使用右手系统,使用 xyzxyz 模式可给出坐标轴上向量叉积的方向:

    xy -> z,yz ->x,zx -> y;

    到此,两向量叉积方向被定义同时垂直于两向量,其数值表示两向量的差异性;

    由于任意向量可表示为基向量的线性组合,下面给出任意两向量的叉积推导:

    

    

     

     

     使用行列式可将向量叉积表示为:

     

 

    参考资料 https://betterexplained.com/articles/vector-calculus-understanding-the-dot-product/

                   https://betterexplained.com/articles/cross-product/?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg

标签:点积,数值,叉积,方向,差异性,向量
来源: https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/13667907.html