9.12 模拟赛简要回顾

T1：

该出一个正 \(n\) 边形，边长为 \(a\)，每个顶点上一开始都有一个移速为 \(v\) 的点，按顺时针依次标号为 \(1\sim n\)。从 \(0\) 时刻开始，每个点 \(i\) 都会朝点 \(i\bmod n+1\) 运动，移动方向随着点 \(i+1\) 的位置变化而变化，最终所有点都会同时到达正 \(n\) 边形的中心，求花费的时间。

用到了物理的一些知识。考虑相邻的两个点 \(i\) 和 \(i\bmod n+1\)，将 \(i\bmod n+1\) 的速度分解成 \(v_1\) 和 \(v_2\)，\(v_1\) 在 \(i\) 与 \(i\bmod n+1\) 所在的直线上，\(v_2\) 垂直于 \(i\) 与 \(i\bmod n+1\) 所在的直线。我们可以通过三角函数中的 \(\cos\) 算出 \(v_1\) 的速度，然后 \(i\) 向 \(i\bmod n+1\) 运动的方向与 \(v_1\) 的方向相同或相反，是个相遇或追及问题。在任意时刻，两点都是这么行动的，而两点在最终汇集到中心之前不会相遇。所以上面这个问题的时间就是最终的时间。

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