【NOI2020游记】NOI如何拿到部分分（详细揭秘）
作者：互联网
背景
省选day1T1爆零的情况下意外混进了省队（D类）。
做了往年的题，感觉自己实力确实不太够。比如说，2018年的签到题（kruskal重构树）和2019年的签到题（斜率优化），凭我自己的能力都无法做出（“思维”和“算法的积累”两方面来讲，都是题目难度>我的水平）。
2016和2017年的题，我倒是能做出一两道（比如2016的Day2T1“区间”和2017Day1T2的蚯蚓排队），但是也有签到题我做不出来（比如2016的Day1T1“优秀的拆分”我只会90分；2017的Day2T1“游戏”我只想到先\(3^d\)枚举再2-SAT，看了题解才知道可以优化为先\(2^d\)再2-SAT）。
上述列举的这些都是当年的“签到题”，更不必说更难的题了，我只能打打暴力。
事实上，按照往年的情况，如果做出了这些签到题，暴力不挂分的话，就能拿到银牌了。不过坏消息是签到题似乎一年比一年难了...
Day-1（8.16），Day0（8.17），大家都在一起快乐狼人杀。然后都被李曙查水表了。
试机的题是：NOI2019 Day1T2机器人，NOI2019 Day1T3 序列，NOI2019 Day2T3 I君的商店。
试机后，大家聊天的句式都是：“哎，明天会不会要考xxx啊，如果考xxx我就没了啊...。我没了啊...”。其中“xxx”可以是任何一种我听都没听过的算法，可能已经远高于历年NOI的难度了，我不知道大家为什么都要这么说...。是为了搞别人心态吗？还是为了显示自己听过别人不知道的算法呢？
哎，可能大家只是习惯性地假...
晚上李曙给我嘱咐了几句：两天都会各有一道签到题，争取拿到70分。剩下的题每道题打30分暴力。每天130分，就能稳拿Ag了。
正好我的目标也是拿到Ag。所以对这番分析深以为然。
Day1
\(50+32+40=122\)
昨晚10点就睡了，半夜4:19醒了一次，又睡到6:40自然醒起床。可以说睡眠是很充足的，考试时精神也很好。上午考试前李曙给我们拍了个合照，本来我和djq站在一起，然后李曙一波安排，我就和dxm换了位置（你品，你细品 /滑稽）。
本着先在签到题拿高分的想法，我先看T1。是个图论题，而且没什么想法（我好像经常对图论题毫无思路...，无论这题本身是什么难度...）。我想是不是以1为根，搜出dfs树，然后看有没有环？然后对环做背包？看上去很奇怪，于是先看T2。
T2虽然题面很长，但看下来倒是觉得非常自然，也很好懂。看到前几个点\(m\)很小，一下就能想到做容斥。我粗略地以为时间复杂度是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)，然后以为自己能拿到40分。然后就继续去看T3了。此时时间大概是8:18。
T3是个“很多维数点”...。看起来是个数据结构题。\(O(nm\log n)\)是很简单的（考完后听别人一说才想到，做个二维前缀和就变成\(O(nm)\)了。不过得分是一样的，所以也不重要，只是体现了我智商很低...）。部分分A（\(c_1=1,c_2=n\)），我想了想，离线？树套树？分治？貌似都不对。好像可以莫队，不过是\(O((n+m)\sqrt{n}\log {n})\)的，不知道能不能过\(10^5\)...。没太多想，就先去写T2暴力了。
先写了个\(O(2^n)\)暴力。因为后面不管些什么都可以用它拍。写完这个9:06。然后继续写“\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)暴力”。发现自己一开始想错了，这个暴力并不是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)而是\(O(2^m\cdot n)\)。可能只能拿20分，这就要低于李曙给我定的计划了。于是又进一步想想，发现可以用树链剖分优化到\(O(2^mm\log^2n)\)，期望拿到32分。虽然比之前以为的40分低了一些，但还是达到了李曙说的30分。
T2似乎后面还能再搞一个树形DP：\(dp[i][j]\)表示第\(i\)个点向上的前\(j\)条边里必须至少有一个重要边。我不太清楚它是\(O(n^2)\)还是\(O(n^3)\)的，不过应该还能再拿到一些分。但是看分不多我又不是很确定，就先没写这个。决定稳妥一点，先写T1,T3暴力，最后再写这个DP。此时9:52（毕竟写树链剖分还是要花不少时间的）。
再看T1，首先发现我原来那个“找出所有环然后做背包”的思路彻底假了，因为环的数量可以是指数级的。不过很快惊喜地发现可以直接在图上做DP：设\(dp[i][j]\)表示第\(i\)天到达节点\(j\)，能获得的最大收益。转移直接枚举出边即可。时间复杂度\(O(T(n+m))\)。可以得到40分。然后又发现下面两点：图是一个环的部分分很简单，于是写了。
现在是10:44，T1总共有50分。感觉不错，先去上了个厕所。此时想到，\(T\)这么大，应该是矩阵快速幂。不过10秒钟后，我把自己否决了。我在草稿纸上写下：矩阵快速幂(x)：max不能矩乘。考完试才知道是我naive了。哎，完美地记录了我的无知...
虽然T1没拿到预期的70分，不过我看没有除快速幂外的其他思路，就没有继续纠结，转而去写T3部分分。\(O(nm\log n)\)的部分分就是用树状数组维护，非常好写。部分分A，我思考以后发现分治、树套树，这些似乎都不靠谱，于是尝试去写sqrt log的莫队。写完以后一测大样例，没过！我又对拍了小数据，才发现是我树状数组写错了。简而言之就是，改变了不该改变的参数，偷懒没有使用替身变量导致的错误（都是平时习惯不好，如果函数都写const int& 就没这个问题了）。又自己造了一组\(10^5,2\times10^5\)的随机数据，实测3.2s左右，感觉能过（下午查分发现只跑了1.8s）。
搞完这些，已经12:15了。这时候我发现一个大问题，T1的对拍的时候，因为一些不熟悉linux系统而导致的错误，我的程序其实没拍上...。修正了这个错误后，我重新对拍了T1,T2。T2过拍了。T1却没有过。（一开始搞错了，以为两个都没有过。反正那2分钟还挺刺激的）。好在发现T1是个小错误，改了就好了。
12:40左右试图开始写T2的树形DP部分分。但是时间不够了，没写完。最后就检查了一下文件啥的，提交提交，就结束了。
嗯。整个过程大概就是这样了。虽然分比同学低不少，但是没有挂分。又想到我的同学都是集训队水平，所以我感觉，也还行？然后李曙又笑嘻嘻地说不错不错（虽然他和谁都这么说），所以我还挺开心的。
总结反思？还没细想，以后再更吧。
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