ETT学习笔记（持续更新）

-1.什么是ETT / 为什么要学ETT

ETT是一种化学物质，分子式是C3H6N4S

ETT全名Eular Tour Tree，是一种玄学的维护动态树的数据结构。支持子树加，改父亲，求某个点到根的路径。

学ETT的理由：

1. 特别好写，特别好调
2. 一只log跑得快
3. 可以支持动态树的大部分操作
4. 不想学LCT

0.前置知识

0.1 欧拉序

既然有Eular，自然离不开欧拉序。这个东西在ST表 \(O(1)\) 求LCA中用到过，若不会请自行学习。

但是这里我们并不是用求LCA的那个欧拉序，而是稍微变形一下。这个在后面会讲到。

0.2 平衡树

这个不会的话，左转洛谷模板区包你学会。

正常情况下，常用的平衡树任选一种均可。

1.ETT的基础操作

1.1 如何用括号序序维护子树信息。

为了维护第1,3个操作，我们需要使用一种特殊的序列——括号序，即：每个点访问时记录，退出时再记录。

void dfs(int u)
{
    //push u
    for(int v:rd[u]) dfs(v);
    //push u
}

可以发现，这种括号序中每个点出现且仅出现2次。

比如上图，括号序就是12334556421（结果不唯一）。

我们考虑这样一种括号序有什么特殊性质：

1. 一个节点的子树的节点都是连续的。
2. 一个点 \(v\) 在 \(u\) 到根路径上当且仅当 \(v\) 在欧拉序中 \(u\) 第一次出现的位置前出现且仅出现一次。

第一个性质和dfs序类似，显然成立。考虑如何证明第二个性质：

如果我们将一个点第一次记录视为插入栈，第二次记录视为从栈中删除，显然可以发现访问到一个点时，栈中的元素都是它到根的路径。

如上图，绿线表示第一次记录，红线表示第二次记录。蓝色表示记录一次，棕色表示记录两次。显然访问5时1,2,4,5被记录一次。

可以发现 \(u\) 到根路径上的点就是栈中只被记录一次的点，所以显然有第二个性质成立。

考虑如何利用这个性质：子树加显然就是区间修改，那么询问一个点到根的路径上点权和怎么办。

由于我们只需要被记录一次的点的点权和，考虑在第二次记录的时候把第一次记录的结果撤销。具体来说，一个结点第一次被记录时在序列中插入他的点权，第二次被记录时插入他的点权的相反数。

void dfs(int u)
{
    //push w[u]
    for(int v:rd[u]) dfs(v);
    r[u]=newnode(w[u],-1);
    //push -w[u]
}

可以发现，我们只需要对该点第一次出现位置求一次前缀和，就可以知道它到根的路径的点权和。这样我们就完成了除了改父亲之外的所有操作。

1.2 如何用ETT维护动态树

在此之前，我们已经能够处理 \(66.7\%\) 的操作了。但是好像至今为止所有的操作都可以用树剖来完成。。。

所以接下来就是维护动态树最重要的部分：改父亲。

我们考虑改父亲对括号序有什么要求：

其实可以发现，子树内部的括号序是不会变的，只是括号序整体的位置有所变化。

举个例子：

考虑上图，\(u\) , \(v\) 是两颗子树，不妨用 \(\text{{u}}\)，\(\text{{v}}\) 表示子树部分的欧拉序。按照1.1，我们可以写出它的一种括号序：

12334{u}{v}425667751

考虑我们将4的父亲改成5：

我们可以再写出它的一种括号序：

1233254{u}{v}4667751

可以发现，4的子树部分的欧拉序并没有改变。变化的实质是 \(\text{4{u}{v}4}\) 这段括号序向后移动了2个单位。

可以发现什么？假如我们用 \(\text{{u}}\) 表示 \(u\) 的子树的欧拉序，那么将 \(u\) 的父亲改为 \(v\) 本质就是把 \(\text{{u}}\) 移动到 \(v\) 在欧拉序中第一次出现的位置。

那么我们怎么维护呢？这本质是区间移动的过程，其实大部分平衡树都支持这种操作。不妨用平衡树维护序列的位置（注意不是数值），即改平衡树中序遍历的结果就是整个序列

特别的，由于我们需要查找某个节点第一次出现的位置。我们不妨记录下第一次出现的位置所代表的节点。那么它在平衡树上的位置就是序列中第一次出现的位置。

这个就比较好求了。每次不断跳在平衡树上的父亲记录经过的节点数。特别的，如果当前节点是其父亲的右儿子，那么还要加上左儿子 \(\text{size}\)。

我这里采用的是fhq-treap，因为这个平衡树自带split和merge操作，不用特别处理平衡树移动这种操作。

关键代码：

split(root,kth(l[x])-1,lt,mt);//kth(u)是求u在平衡树中的位置
split(mt,kth(r[x]),mt,rt);//提取出l[u]~r[u]
st=merge(lt,rt);//将非l[u]~r[u]部分合并
split(st,kth(l[y]),lt,rt);//提取出l[y]，即要插入的节点
rt=merge(merge(lt,mt),rt);

这样，我们就完成了用ETT维护动态树的操作。

标签：子树,ETT,记录,text,更新,括号,笔记,欧拉
来源： https://www.cnblogs.com/Flying2018/p/13362956.html