GMOJ 1283排列统计 题解

Tips:矩阵ruo版

思路

上栗子

A: 2 3 1

首先，对于这样的一个 \(A\) 的排列，先把它转换成矩阵，其中第 \(i\) 行第 \(j\) 列表示第 \(i\) 个位置是 \(j\)

  数字 |   |   |   |
位置   | 1 | 2 | 3 |
------+---+---+---+
    1 | 0 | 1 | 0 |
------+---+---+---+
    2 | 0 | 0 | 1 |
------+---+---+---+
    3 | 1 | 0 | 0 |
------+---+---+---+

奇丑无比

首先，明显的，每一行每一列都只有一个数。 废话

然后我们注意到对于一个 \(B_i\) ，表示的是这个矩阵中从 \((1,1)\) 到 \((i,i)\) 中 \(1\) 的个数。

现在，假设我们要构造一个满足从 \(1\le j\le i\) 的所有 \(B_j\) 限制的一个 \(i\times i\) 的矩阵，且我们已经构造好了前 \((i-1)\times (i-1)\)

比如说长这样

0 1 ？
0 0 ？
？？？

现在 \(i\) 为 \(3\) ，已经构造好了前\((i-1)\times (i-1)\) ，那么我们肯定是要在"?"处放置一些1，使得其满足 \(B_i\) 的限制。

首先对于绿色部分，由于它会对 \(B_i\) 产生贡献，且刚好满足 \(B_{i-1}\) 的限制，那么在"?"处放置的1的总数肯定为 \(B_i-B_{i-1}\)

由于可用部分一定只有一行一列，所以必然放不下 \(3\) 个或更多的1，于是我们只有 \(3\) 种情况：

\[\begin{cases}0&\text{那么无操作}\\1&\text{那么在任意合法位置放一个}\\2&\text{那么在竖排与横排各放一个，交点不合法}\end{cases} \]

（建议把三种情况都理解了再继续）

---

可以发现对于已经构造好的矩阵，其对于方案数的影响只在于其含有多少个1，位置无关紧要。而根据定义，其含有1的多少恰好就是 \(B_{i-1}\) 。那么，从第 \(i-1\) 到第 \(i\) 个矩阵的转移就为：

\[\begin{cases}\times 1&B_i-B_{i-1}=0\\\times (2i-1-2B_{i-1})&B_i-B_{i-1}=1\\\times(i-1-B_{i-1})^2&B_i-B_{i-1}=2\end{cases} \]

（\(2i-1\)为总位置数，\(B_{i-1}\) 为一行/列被占用的数量）

那么，对于每一个矩阵，都有一样的转移，直接乘起来即可。

实现

记得打高精度。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define mo 100000000
using namespace std;
int n,b[100010];
struct big{
	long long num[2000];
	big operator *= (int x){
		int i;
		for(i=1;i<=num[0];i++){
			num[i]*=x;
		}
		for(i=1;i<=num[0]||num[i]>0;i++){
			num[i+1]+=num[i]/mo;
			num[i]%=mo;
		}
		num[0]=i-1;
		return(*this);
	}
	big(){
		num[0]=num[1]=1;
	}
}ans; 
void read(int &x){
	char c=getchar();
	for(;c<33;c=getchar());
	for(x=0;(c>47)&&(c<58);x=x*10+c-48,c=getchar());
}
void write(big a){
	for(int i=a.num[0];i;i--){
		if(i<a.num[0]){
			for(int j=mo/10;j>1;j/=10){
				if(a.num[i]<j){
					printf("0");
				}
			}
		}
		printf("%lld",a.num[i]);
	}
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(b[i]);
		if(b[i]-b[i-1]==1){
			ans*=(2*i-1-2*b[i-1]);
		}else if(b[i]-b[i-1]==2){
			ans*=(i-1-b[i-1])*(i-1-b[i-1]);
		}
	}
	write(ans);
}

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来源： https://www.cnblogs.com/groundwater/p/13308240.html