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正交多分辨分析1

2020-07-01 13:40:16 作者：互联网

正交多分辨分析1

1. 目的

我们希望使用正交小波对能量有限的信号（ $f(t)\in L^{^{2}}(\mathbb{R})$ ）进行分解以便于进行时频分析，需要构建信号空间的正交小波，其中正交小波定义如下：

$\exists \psi (t)$ 为小波函数， $st.$

$\{\psi _{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k),(j,k)\in \mathbb{Z}^{2}\}$ 构成信号空间 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 上的标准正交基（ $O.N.B$ ），则称 $\psi (t)$ 为正交小波。

正交小波通过对小波函数进行时域的离散的压缩和平移构成 $L^{2}(\mathbb{R})$ 上的一组 $O.N.B$ ,也就是说我们可以利用一组离散的基来表示连续的信号，即仅仅通过离散的序列就可以表示连续的信号，这样便更加容易对信号进行分析和处理。之前类似的例子就是傅里叶级数，但是要求分解的信号为周期信号。但是正交小波通过对基的强限制可以对能量有限的信号空间内的任意信号进行分解，因此如何找到这样的一组基便是重中之重。而正交多分辨分析就是这样一种理论，可以帮助我们找到这样一组基。

2. 正交多分辨分析的定义

设 $\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 是 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 上的一个闭的线性子空间列， $\phi (t)\in V_{0}$ ，满足下列条件：

$A.\;V_{j}\subset V_{j+1},j\in \mathbb{Z}$

$B.\;\bigcup_{j\in \mathbb{Z}}{}V_{j}=L^{^{2}}(\mathbb{R})$

$C.\; \bigcap_{j\in \mathbb{Z}}{}V_{j}=\{0\}$

$D.\; f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1}$

$E.\;\{\phi (t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{0}$ 的 $O.N.B$

则称 $(\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\},\phi (t))$ 是 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 上的一个正交多分辨分析（MRA)

根据上述定义，可以得到以下几点结论：

$(1)\;\{\phi_{j,n}(t)=2^{j/2}\phi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{j}$ 的 $O.N.B$

$(2)\;V_{j}\rightarrow L^{2}(\mathbb{R}),j\rightarrow \infty ;V_{j}\rightarrow \{0\},j\rightarrow -\infty$

$(3)\; \exists W_{j},s.t.W_{j}\perp V_{j} \;and\;V_{j+1}=W_{j}\oplus V_{j},j\in\mathbb{Z}$

$(4)\; W_{j} \perp W_{j_{1}},j\neq j_{1}$

$(5)\; g(t)\in W_{j}\Leftrightarrow g(2t)\in W_{j+1}$

$(6)\; \bigcup_{j\in \mathbb{Z}} W_{j}=L^{2}(\mathbb{R})$

$(7)\; if\: \exists \psi (t)\in W_{0},s.t.\{\psi(t-n);n\in \mathbb{Z}\}$ 构成 $W_{0}$ 的 $O.N.B$ ，则 $\psi(t)$ 为正交小波

（1）（2）（3）结论的得出是显而易见的，现在我们证明（4）——（7）：

证明： $(4)\; W_{j} \perp W_{j_{1}},j\neq j_{1}$

我们只需证明 $W_{j} \perp W_{j+1},j\in\mathbb{Z}$ .

$\because W_{j}\perp V_{j} \;and\;V_{j}=W_{j-1}\oplus V_{j-1},j\in\mathbb{Z}$

$\therefore W_{j} \perp W_{j+1},j\in\mathbb{Z}$

证明： $(5)\; g(t)\in W_{j}\Leftrightarrow g(2t)\in W_{j+1}$

(i) 首先证明充分性，即： $g(t)\in W_{j}\rightarrow g(2t)\in W_{j+1}$

根据 $V_{j+2}=W_{j+1}\oplus V_{j+1}\;and\;W_{j+1}\perp V_{j+1}j\in\mathbb{Z}$

要证明 $g(2t)\in W_{j+1}$ ，需要证明 $g(2t)\in V_{j+2}\;and\;g(2t)\perp V_{j+1}$

(a) 证明 $g(2t)\in V_{j+2}$

   $\because g(t)\in W_{j}\Rightarrow g(t)\in V_{j+1}$

根据MRA的伸缩性（MRA定义中的D）

   $\therefore g(2t)\in V_{j+2}$

（b）证明 $g(2t)\perp V_{j+1}$

等价于证明 $\forall f(t)\in V_{j+1},\int_{-\infty}^{\infty} f(t)g^{*}(2t)dt=0$

   $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)g^{*}(2t)dt\\=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} f(t/2)g^{*}(t)dt\;\;\;\;\;\cdots (2-1)$

   $\because f(t)\in V_{j+1},\therefore f(t/2)\in V_{j}\;and\;g(t)\in W_{j}$

   根据定义 $V_{j}\perp W_{j}$ ，式（2-1）=0.

(ii) 再证明必要性，即： $g(2t)\in W_{j+1}\rightarrow g(t)\in W_{j}$

仿照（i）的证明可以证得。

证明： $(6)\; \bigcup_{j\in \mathbb{Z}} W_{j}=L^{2}(\mathbb{R})$

$V_{j\rightarrow \infty}=L^{2}(\mathbb{R})$

$V_{j\rightarrow \infty}=V_{\infty-1}\oplus W_{\infty-1}\\=V_{\infty-2}\oplus W_{\infty-1}\oplus W_{\infty-2}\\=V_{-\infty}\oplus\bigcup_{j\in \mathbb{Z}}W_{j}\\=\bigcup_{j\in \mathbb{Z}}W_{j}$

证明： $(7)\; if\: \exists \psi (t)\in W_{0},s.t.\{\psi(t-n);n\in \mathbb{Z}\}$ 构成 $W_{0}$ 的 $O.N.B$ ，则 $\psi(t)$ 为正交小波

(i) 首先证明 $\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 构成 $W_{j}$ 的 $O.N.B$

（a）正交性

证明 $\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 构成 $O.N.S$ ，即 $<\psi_{j,n}(t),\psi_{j,n1}(t)>=\delta (n-n_{1})$

$\because \{\psi(t-n);n\in \mathbb{Z}\}$ 构成 $W_{0}$ 的 $O.N.B$

$\therefore <\psi_{0,n}(t),\psi_{0,n1}(t)>\\=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t-n)\psi^{*}(t-n_{1})dt\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left | \hat{\psi}(w) \right |^{2}e^{-i(n-n1)w}\\=\delta (n-n_{1})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots(2-2)$

根据式（2-2），

$<\psi_{j,n}(t),\psi_{j,n1}(t)>\\=\int_{-\infty }^{\infty}\psi_{j,n}(t)\psi_{j,n_{1}}^{*}(t)dt\\=\int_{-\infty }^{\infty}2^{j}\psi(2^{j}t-n)\psi^{*}(2^{j}t-n_{1})dt\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}2^{-j}\hat{\psi}(2^{-j}w)e^{-i2^{-j}nw}\hat{\psi}^{*}(2^{-j}w)e^{i2^{-j}n_{1}w}dw\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\hat{\psi}(w)e^{-inw}\hat{\psi}^{*}(w)e^{in_{1}w}dw\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\left |\hat{\psi}(w) \right |^{2}e^{-i(n-n_{1})w}dw\\=\delta (n-n1)$

（b）完备性

根据伸缩性，即 $g(t)\in W_{j}\Leftrightarrow g(2t)\in W_{j+1}$ ，有：

$\forall g(t)\in W_{j}\Leftrightarrow f(t) = g(2^{-j}t)\in W_{0}$

$f(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f_{n}\psi(t-n)\rightarrow f(2^{j}t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}2^{-j/2}f_{n}2^{j/2}\psi(2^{j}t-n)\\\rightarrow g(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}g_{n}\psi_{j,n}(t)$

(ii) 再证明 $\{\psi _{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k),(j,k)\in \mathbb{Z}^{2}\}$ 构成 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 的 $O.N.B$

根据推论中的（6）和（4），即：

$\bigcup_{j\in \mathbb{Z}} W_{j}=L^{2}(\mathbb{R}) \:and\:W_{j} \perp W_{j_{1}},j\neq j_{1}$

可以得到 $\{\psi _{j,k}(t)=2^{j/2}\psi (2^{j}t-k),(j,k)\in \mathbb{Z}^{2}\}$ 构成 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 的 $O.N.B$

两种闭的子线性空间列 $\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 和 $\{W_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 体现了两种构建 $L^{2}(\mathbb{R})$ 的方式，前者通过（ $V_{j}\rightarrow L^{2}(\mathbb{R}),j\rightarrow \infty$ ）而后者通过叠加（ $\bigcup_{j\in \mathbb{Z}} W_{j}=L^{2}(\mathbb{R})$ ）的方式。同样地，两种闭的子线性空间列的 $O.N.B$ 列也按照相同的方式得到 $L^{^{2}}(\mathbb{R})$ 的 $O.N.B$ 。具体来讲：

（a）对于线性子空间列 $\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ ，其 $O.N.B$ 为 $\{\phi_{j,n}(t)=2^{j/2}\phi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 。 $\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 按照逼近的方式 $V_{j}\rightarrow L^{2}(\mathbb{R}),j\rightarrow \infty$ 可以得到 $L^{2}(\mathbb{R})$ ，因此 $L^{2}(\mathbb{R})$ 的 $O.N.B$ 可以通过对 $\{\phi_{j,n}(t)=2^{j/2}\phi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 进行逼近的方式获得：

$\left \{ \phi_{\infty,n}(t),n\in \mathbb{Z} \right \}=\left \{ \lim_{j\rightarrow \infty}2^{j/2}\phi(2^{j}t-n), n\in \mathbb{Z} \right \}=\left \{ \delta (t-u),u\in\mathbb{R} \right \}$

$\forall f(t)\in L^{2}(\mathbb{R}),f(t)=\int _{-\infty}^{\infty}f(u)\delta (t-u)du$

由此种方式我们得到的是 $L^{2}(\mathbb{R})$ 的平凡基。

（b）对于线性子空间列 $\{W_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ ，其 $O.N.B$ 为 $\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 。 $\{W_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 按照叠加的方式 $\bigcup_{j\in \mathbb{Z}} W_{j}=L^{2}(\mathbb{R})$ 可以得到 $L^{2}(\mathbb{R})$ ，因此 $L^{2}(\mathbb{R})$ 的 $O.N.B$ 可以通过对 $\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 进行叠加的方式获得：

$\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),(j,n)\in \mathbb{Z}^{2}\}$

这也就是我们所需要的正交小波。

3. 尺度方程和小波方程

根据MRA的定义，我们要做的是已知空间 $\{V_{j};j\in \mathbb{Z}\}$ 和其 $O.N.B$ $\{\phi_{j,n}(t)=2^{j/2}\phi(2^{j}t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 去求解 $\{\psi_{j,n}(t)=2^{j/2}\psi(2^{j}t-n),(j,n)\in \mathbb{Z}^{2}\}$ 。可以看出我们只需要研究 $W_{0}$ 空间的 $O.N.B$ ，就可以通过基函数 $2^{j}$ 的压缩获得任意线性子空间 $W_{j}$ 的 $O.N.B$ 。而 $W_{0}$ 空间的定义来自于MRA推论的第（3）条，即： $\exists W_{j},s.t.W_{j}\perp V_{j} \;and\;V_{j+1}=W_{j}\oplus V_{j},j\in\mathbb{Z}$ ，

所以突破口就在于 $W_{0}\perp V_{0} \;and\;V_{1}=W_{0}\oplus V_{0}$ 这样一组空间关系上，根据空间的关系我们可以得到基函数之间的关系，这也就分别是尺度方程和小波方程。

（1）   根据 $V_{0}$ 和 $V_{1}$ 的关系： $V_{0}\subset V_{1}$ ，则 $\phi (t) \in V_{1}$

根据MRA，我们知道 $\{\phi (t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{0}$ 的 $O.N.B$ ， $\{\sqrt{2}\phi (2t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{1}$ 的 $O.N.B$

$\therefore \exists \{h_{n},n\in \mathbb{Z}\}\in l^{2}(\mathbb(Z)),s.t.\phi (t) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}h_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)$

上式就称为尺度方程。

其中 $h_{n}=<\phi(t),\sqrt{2}\phi(2t-n)>$ ，根据帕斯瓦耳定理： $\left \| \phi (t) \right \|^{2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left | h_{n} \right |^{2}=1$

对上式进行傅里叶变换：

$\hat\phi (w) =\hat\phi(\frac{w}{2})\sum_{n\in\mathbb{Z}}h_{n}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-in\frac{w}{2}}=\hat\phi(\frac{w}{2})H(\frac{w}{2})$

   其中，定义低通滤波器： $H (w) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}h_{n}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-inw}$

低通滤波器的概念非常直白，若 $\hat\phi (w)$ 的带宽为W，则 $\hat\phi (\frac{w}{2})$ 的带宽则为2W，因此根据尺度方程的频域形式，可以看到

   $H (w)$ 起到的是一个低通滤波器的作用，它表征着尺度函数的性质。其中 $H (w)$ 具有以下特点:

   $\left | H (w) \right |^{2}+\left | H (w+\pi) \right |^{2}=1$

称之为共轭滤波器，其证明过程见正交多分辨分析：共轭滤波器证明

（2）   根据 $W_{0}$ 和 $V_{1}$ 的关系： $V_{0}\subset V_{1}$ ，则 $\psi (t) \in V_{1}$

根据MRA，我们知道 $\{\psi (t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{0}$ 的 $O.N.B$ ， $\{\sqrt{2}\phi (2t-n),n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $V_{1}$ 的 $O.N.B$

$\therefore \exists \{g_{n},n\in \mathbb{Z}\}\in l^{2}(\mathbb(Z)),s.t.\psi (t) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)$

上式就成为小波方程。

其中 $g_{n}=<\psi(t),\sqrt{2}\phi(2t-n)>$ ，根据帕斯瓦耳定理： $\left \| \psi (t) \right \|^{2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left | g_{n} \right |^{2}=1$ ，

对上式进行傅里叶变换：

$\hat\psi (w) =\hat\phi(\frac{w}{2})\sum_{n\in\mathbb{Z}}g_{n}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-in\frac{w}{2}}=\hat\phi(\frac{w}{2})G(\frac{w}{2})$

   其中，定义带通滤波器： $G (w) =\sum_{n\in\mathbb{Z}}g_{n}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-inw}$

带通滤波器的概念也很容易理解，若 $\hat\phi (w)$ 的带宽为W，则 $\hat\phi (\frac{w}{2})$ 的带宽则为2W，且 $\psi (t) \perp \phi(t)$ ，则 $\hat\psi (w)\perp\hat\phi (w)$ ，因此

   $G (w)$ 起到的是一个带通滤波器的作用，它表征着小波函数的性质。其中 $G (w)$ 具有以下特点:

   $\left | G (w) \right |^{2}+\left | G (w+\pi) \right |^{2}=1$

  称之为共轭滤波器，其证明过程见正交多分辨分析：共轭滤波器证明

同时，由 $\hat\psi (w)\perp\hat\phi (w)$ 可以推出 $G (w)$ 和 $H (w)$ 之间的关系：

   $H (w) G^{*} (w) +H (w+\pi) G^{*} (w+\pi)=0$

其证明过程见正交多分辨分析：共轭滤波器证明

标签：分析,7D%,5E%,29%,正交,5C%,分辨,_%,7B
来源： https://blog.csdn.net/hedoubibi/article/details/107015355