MIT Linear Algebra#6 Linear Transformations
作者：互联网
线性变换
顾名思义，所谓线性变换即某种变换满足线性性质：
\[\begin{cases} T(v+w)=T(v)+T(w)& \text{}\\ T(cv)=cT(v)& \text{}\\ \end{cases} \]
投影变换、旋转变换满足线性，这种映射可以通过左乘矩阵完成。
如果要知道对整个空间的线性变换，只需要知道对基的变换结果即可，因为任意向量都可表示为基的线性组合：\(v=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n\)，\((c_1,c_2,...,c_n)\)是该向量在这组基下的坐标，那么\(T(v)=c_1T(v_1)+...+c_nT(v_n)\)。
线性变换可以用矩阵表示，不同基下对应的矩阵是不同的，如果要求该矩阵：
假设输入基是\(v_1,...v_n\)，输出空间的基是\(w_1,...w_m\)，\(A\)的第一列就是\(T(v_1)\)在\(w\)下的坐标，因为输入\(v_1\)，其在\(v\)下的坐标就是\(\begin{bmatrix}
1\\
0\\
...\\
0
\end{bmatrix}\)，\(A\)乘以该坐标就是取\(A\)的第一列，同理可得其他列。
容易验证\(T=\frac{d}{dx}\)也是线性变换，输入基如果选择\(1,x,x^2\)，输入是\(c_1+c_2x+c_3x^2\)，那么输出是\(c_2+2c_3x\)，输出基是\(1,x\)，那么用矩阵表示就是：
\[A\begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_2\\ 2c_3\\ \end{bmatrix} \]
当然可以用上面的方法求矩阵，这里比较简单\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{bmatrix}\)。
基变换
选择合适的基，可以对图像进行压缩：
对于原始信号\(x\)，可以通过基变换得到另一组基下的坐标\(c\)，这一步是无损的，这些系数里可能含有大量的0，通过去掉这些项可以压缩大小，这一步是有损的，即\(\hat x=\Sigma \hat c_iv_i\)。
目前比较好的有Fourier基和小波基，都是将原始图片分割为若干小块处理。
8*8Fourier基：
\[\begin{bmatrix} 1 & 1 &... & 1 \\ 1 & w&... & w^{n-1} \\ ... & ... & ...\\ 1 & w^{n-1}&... & w^{(n-1)^2} \\ \end{bmatrix} \]
8*8小波基：
\[W=\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 & 0 & 1&0&0&0\\ 1 & 1 &1 & 0 & -1&0&0&0\\ 1 & 1 &-1 & 0 &0&1&0&0\\ 1 & 1 &-1 & 0 &0&-1&0&0\\ 1 & -1 &0& 1 &0&0&1&0\\ 1 & -1 &0 & 1 &0&0&-1&0\\ 1 & -1 &0 & 1 &0&0&0&1\\ 1 & -1 &0 & 1 &0&0&0&-1\\ \end{bmatrix} \]
标准基下的像素值在基变换后：
\[p=\begin{bmatrix} p_1\\ ...\\ p_8\\ \end{bmatrix}=W\begin{bmatrix} c_1\\ ...\\ c_8\\ \end{bmatrix}=Wc \]
所以在新的基下的坐标是\(c=W^{-1}p\)。
就性能而言：我们需要\(W^{-1}\)可以快速求得，这一点\(W^{-1}=W^T\)；另外还要求只需要少量基向量就可以逼近原始信号。
左右逆/伪逆
对于满秩的情况\(r=m=n\)，左逆和右逆都存在，即\(AA^{-1}=I=A^{-1}A\)；
对于列满秩\(r=n<m\)，比如\(\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 3\\
2 & 4\\
\end{bmatrix}\)，\(A_{left}^{-1}=(A^TA)^{-1}A^T\)；
对于行满秩\(r=m<n\)，\(A_{right}^{-1}=A^T(AA^T)^{-1}\)；
对于不满秩的情况\(r<m,r<n\)，这样不论\(A^TA\)还是\(AA^T\)都是奇异的，所以不可能有左逆或者右逆。这种情况在统计学上多次出现，就提出了伪逆的概念，记作\(A^+\)。
找伪逆可以通过SVD，\(A=U\Sigma V^T\)，这里我们的特征值是不完整的，即\(\Sigma_{mn}=\begin{bmatrix}
\sigma_1 & ... & 0&0 \\
... & ... & ...&0\\
0 & ... & \sigma_r &0\\
...\\
0 & ... & 0&0 \\
\end{bmatrix}\)，那么\(\Sigma_{nm}^+=\begin{bmatrix}
1/\sigma_1 & ... & 0&0 \\
... & ... & ...&0\\
0 & ... & 1/\sigma_r &0\\
...\\
0 & ... & 0&0 \\
\end{bmatrix}\)，这样\(A^+=V\Sigma^+U^T\)。
作业
标签：...,begin,end,Transformations,Algebra,bmatrix,线性变换,Sigma,Linear 来源： https://www.cnblogs.com/EIMadrigal/p/13023866.html