二分查找和二分答案
作者：互联网
二分查找
什么是二分查找？
举个栗子：
问：有这样的一个数组：1,3,10,19,20,25,35,45,86,95,114；如何查找出一个能比17大的数的下标呢？
是一个一个的去判断比较吗？
还是写一个hash表来进行查找？
.................
可以看出前一个时间的复杂度是很高的，虽然hash算法的时间复杂度为O（1），但是它的空间复杂度升到了O（n）。有没有一种即可以让时间复杂度降低，又可以让空间 复杂度不达到O（n）。
答案肯定是有的——那就是二分查找
我们就对上面的例子，进行讨论：
问：25比17大还是小？ 大
19比17大还是小？ 大
3 比17大还是小？ 小
因此19就一个比17大的数。对于一个区间，一半，一半的半，一半的一半的一半的去查找，如果被查找的数要大于中间值，说明这个数在上半部分，L的值就向向上移， 否则就R向下移，就是二分查找的思想。因此在开始的时候对于L和R的取值这是和重要的。
例题：
题目描述
输入 n(n\le10^6)n(n≤106) 个不超过 10^9109 的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数 a_1,a_2,\dots,a_{n}a1,a2,…,an，然后进行 m(m\le10^5)m(m≤105) 次询问。对于每次询问，给出一个整数 q(q\le10^9)q(q≤109)，要求输出这个数字在序列中的编号，如果没有找到的话输出 -1 。
输入格式
第一行 2 个整数 n 和 m，表示数字个数和询问次数。
第二行 n 个整数，表示这些待查询的数字。
第三行 m 个整数，表示询问这些数字的编号，从 1 开始编号。
输出格式
m 个整数表示答案。
输入输出样例
输入 #111 3 1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15 1 3 6输出 #1
1 2 -1
由此可以看出，L的取值是取数组的开端的下标，R就是数组末尾的下标。使用我们刚刚的思路进行解题。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll num[N],res[N];
int main()
{
ll n,q;
cin>>n>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>num[i];
ll L=1,R=n,x,len=0;
for(int i=0;i<q;i++)
{
cin>>x;
L=1,R=n;
while(L <= R)
{
ll mid=(L+R)/2;
if(x>num[mid]) L=mid+1;
else R=mid-1;
}
if(num[L]==x)
res[len++]=L;
else res[len++]=-1;
}
for(int i=0;i<len;i++)
printf("%lld ",res[i]);
return 0;
}
要注意的是L和R前面的判断条件，只有这个L和R的判断条件弄清楚了，二分查找就差不多会了。
二分答案
二分答案的重点代码和二分查找是一样的，只不过二分答案要多出一个cheak（）的判断条件。（下面会介绍什么是cheak（））
当我们碰到一些在最大值中找最小值，最小值中找最大值或者一些方程的求解时，就可以使用二分答案，实际上就是使用二分查找一步的一步的将答案查找出来，因此需要对于查找的两端进行判断了（下面会介绍如何对两端的进行取值）。其实对于这类的题目读懂题真重要，当你读懂题后你才知道这题其实也没有这么的难，（我这种蒟蒻，就觉得二分答案这类题的题目真的很难读懂），先声明两个点，我接下来的内容在对区间的两端，我都定义为L和R，对于中间值，称为K。
最大值中找最小值：
例题一、
题目描述
伐木工人米尔科需要砍倒M米长的木材。这是一个对米尔科来说很容易的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以像野火一样砍倒森林。不过，米尔科只被允许砍倒单行树木。
米尔科的伐木机工作过程如下：米尔科设置一个高度参数H（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度H，并锯掉所有的树比H高的部分（当然，树木不高于H米的部分保持不变）。米尔科就行到树木被锯下的部分。
例如，如果一行树的高度分别为20，15，10和17，米尔科把锯片升到15米的高度，切割后树木剩下的高度将是15，15，10和15，而米尔科将从第1棵树得到5米，从第4棵树得到2米，共得到7米木材。
米尔科非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助米尔科找到伐木机锯片的最大的整数高度H，使得他能得到木材至少为M米。换句话说，如果再升高1米，则他将得 不到M米木材。
输入格式
第1行：2个整数N和M，N表示树木的数量（1<=N<=1000000）,M表示需要的木材总长度（1<=M<=2000000000）
第2行：N个整数表示每棵树的高度，值均不超过1000000000。所有木材长度之和大于M，因此必有解。
输出格式
第1行：1个整数，表示砍树的最高高度。
输入输出样例
输入 #1 5 204 42 40 26 46输出 #1
36
读完题后，有找到什么是最小值，什么是最大值吗？
这里的最小值是得到的木材和，最大值是尽可能抬高切割的高度。请问L和R的值要怎样取呢？
分析：
题目要求的是切割下的木材的和要是m，在现实生活中，要是切割下的木材的和为一固定值，是不是需要移动高度，每一移动一高度，用大于该高度的数减去高度，将所有剩下的数相加，如果相加的数大于m，我们是不是会把高度下降一点，然后再重复刚刚的步骤，如果是小于，就往上移，反复这般，是不是可以找到一个最优的高度使得正好切割下的木材的和为m。
因此在这里的L是1，R是某一颗树的最大高度，K是m，cheak（）用于返回每一高度剩下的木材和。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x7f7f7f7f;
const int N=1e7+10;
ll num[N];
ll cheak(ll x,ll len)
{
ll ans=0;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
if(num[i]>x)
{
ans+=(num[i]-x);
}
}
return ans;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
ll m=-INF, n,sum;
cin>>n>>sum;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>num[i];
m=max(m,num[i]);
}
ll L=1,R=m,temp;
while(L<=R)
{
ll mid=(L+R)>>1,temp=cheak(mid,n);
if(temp>=sum) L=mid+1;
else R=mid-1;
}
printf("%lld\n",R);
return 0;
}
可能你觉得上一题的最大值和最小值不太清楚。这里还有一题能够很清晰的表示出二分答案。
样例二、
题目描述
对于给定的一个长度为N的正整数数列A1∼N，现要将其分成 M（M≤N）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
关于最大值最小：
例如一数列 4 2 4 5 1 要分成 3 段。
将其如下分段：
[4 2][4 5][1]
第一段和为 6，第 22 段和为 9，第 3 段和为 1，和最大值为 9。
将其如下分段：
[4][2 4][5 1]
第一段和为 4，第 2 段和为 6，第 3 段和为 6，和最大值为 6。
并且无论如何分段，最大值不会小于 6。
所以可以得到要将数列 4 2 4 5 1 要分成 3 段，每段和的最大值最小为 6。
输入格式
第 11 行包含两个正整数 N,M。
第 22 行包含 N 个空格隔开的非负整数 Ai，含义如题目所述。
输出格式
一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
输入输出样例
输入 #15 3 4 2 4 5 1输出 #1
6
说明/提示
对于20% 的数据，N≤10。
对于 40% 的数据，N≤1000。
对于100% 的数据，1≤N≤10^5，M≤N，Ai < 10^8， 答案不超过 10^9。
读完题的你，有没有找到最大值是什么，最小值是什么？
最大值是每一次分类的连续的区间的和，最小值是这些最大值中最小的哪一个。
分析：
在此之前，不知道你们是否做过这样的一题，在一数组中找出规定的连续子序列的和为sum的次数。如果没有做过的，先去做完这题，再来看这题，你会发现这题其实没有这么难。
就如上一段所说的，使用cheak返回规定sum的次数。K就是m，如果sum的次数大于m，就说明这个sum的值太小了，要往上找，即sum的值要变大，使得每一段的和的次数变小；如果sum的次数小于m，就往下找。因此我们可以使数组的中最大的哪一个数为L，所有的数的和为R。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll num[N],n,m;
ll cheak(ll x)
{
ll cnt=0,sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(sum+num[i]<=x) sum+=num[i];
else sum=num[i],cnt++;
}
return cnt+1;
}
int main()
{
ll L=0,R=0;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&num[i]);
R+=num[i];
L=max(L,num[i]);
}
while(L<=R)
{
ll mid=(L+R)>>1;
ll t=cheak(mid);
if(t>m) L=mid+1;
else R=mid-1;
}
printf("%lld\n",L);
return 0;
}
这里有些细节问题，这里不作解释（麻麻说，要自己学会思考呢，啊哈哈哈，其实我是懒了，将就一下吧，但还是要学会自己思考的丫）
最小值中找最大值：
思路是和上面是一样的，但是求的不同，如果上面的看懂的，那么下面的就不用再看了。这里做出说明：我接下来的内容在对区间的两端，我都定义为L和R，对于中间值，称为K。
样例一：
题目描述
木材厂有一些原木，现在想把这些木头切割成一些长度相同的小段木头（木头有可能有剩余），需要得到的小段的数目是给定的。当然，我们希望得到的小段木头越长越好，你的任务是计算能够得到的小段木头的最大长度。木头长度的单位是cm。原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。
例如有两根原木长度分别为11和21，要求切割成到等长的6段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为5.
输入格式
第一行是两个正整数N和K(1 ≤ N ≤ 100000，1 ≤ K ≤ 100000000)，N是原木的数目，K是需要得到的小段的数目。
接下来的N行，每行有一个1到100000000之间的正整数，表示一根原木的长度。
输出格式
能够切割得到的小段的最大长度。如果连1cm长的小段都切不出来，输出”0”。
输入输出样例
输入 #13 7 232 124 456输出 #1
114
看懂题目的你们，是否有找到最大值是什么？最小值是什么？
最大值是每一段的最大值，最小值是题目给出的数目k
分析：
L为1，既当每一段是1的情况，R为这些小木块的最长的长度，K为题目给出的K，cheak（）返回当每一段为这个数X是的次数。如果返回的数小于K，说明数x太大了，要小一些，既要往下找；如果是大于K，说明这个数x太小了，要往上找。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll num[N],n,k;
ll cheak(ll x)
{
ll a=0,b=0;
for(int i=0;i<n;i++)
a+=(num[i]/x);
return a;
}
int main()
{
ll R=0,L=1;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&num[i]);
R=max(R,num[i]);
}
while(L<=R)
{
ll mid=(L+R)>>1,t=cheak(mid);
if(t<k) R=mid-1;
else L=mid+1;
}
printf("%lld\n",R);
return 0;
}
可能你们觉得上面那一的最小值和最大值不太好看出，那么这题句非常的看得出要使用二分答案了。
样例二、
题目背景
B市和T市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。
题目描述
现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。
输入格式
第1行包括三个数L、N、K，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。
第2行包括递增排列的N个整数，分别表示原有的N个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间[0,L]内。
输出格式
输出1行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。
输入输出样例
输入 #1
101 2 1 0 101输出 #1
51
说明/提示
公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点50或51个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数51。
50%的数据中，2 ≤ N ≤100，0 ≤K ≤100
100%的数据中，2 ≤N ≤100000, 0 ≤K ≤100000
100%的数据中，0 ＜ L ≤10000000
看懂题目的你们，是否找到最大值和最小值？
最小值是使两个路标的间距尽可能的小，最大值是这些最小值的最大值。
分析：
L为当两个路标间距是1 的情况。R为题目给出的路标距离的最大值，当两个路标的距离是x的时候，cheak()返回的是这些的路标的数量cnt，KK为题目给定的k。如果cnt大于k的时候，说明这个间距太小了，使得放入的路标大于了题目所给的k，因此要x的值要再大些，既往上找。如果cnt小于k的时候，说明这个间距太大了，使得放入的路标不足题目所给的k，因此要往下找。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
ll num[N],l,n,k;
ll cheak(ll x)
{
ll cnt=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if((num[i+1]-num[i])>x)
{
cnt+=(num[i+1]-num[i])/x;
if((num[i+1]-num[i])%x==0) cnt--;
}
}
return cnt;
}
int main()
{
ll R=0,L=1;
scanf("%lld%lld%lld",&l,&n,&k);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&num[i]);
R=max(R,num[i]);
}
while(L<R)
{
ll mid=(L+R)>>1,t=cheak(mid);
if(t<=k) R=mid;
else L=mid+1;
}
printf("%lld\n",R);
return 0;
}
一些方程的求解：
其实这个还是很好写的吧，就是公式不太好找。要是能找出公式，就能在一段的区间中筛选出答案了。
样例：
题目描述
有形如：ax^3+bx^2+cx^1+dx^0=0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100−100之间)，且根与根之差的绝对值\≥1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后22位。
提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2，f(x1)×f(x2)<0，则在(x1,x2)之间一定有一个根。
输入格式
一行，4个实数A,B,C,D。
输出格式
一行，3个实根，并精确到小数点后2位。
输入输出样例
输入 #1
1 -5 -4 20输出 #1
-2.00 2.00 5.00
分析：
先用for找出存在两个x1，x2能使得f(x1)×f(x2)<0，如果有，就在x1和x2之前使用二分答案找出一个答案。
代码如#include<bits/stdc++.h>
#define IO std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
using namespace std;
double a,b,c,d;
double f(double i)
{
return a*i*i*i+b*i*i+c*i+d;
}
int main()
{
IO ;
cin>>a>>b>>c>>d;
int cnt=0;
for(double i=-100;i<=100;i++)
{
double x1=f(i);
double x2=f(i+1);
if(!x1)
{
printf("%.2lf ",i);
cnt++;
}
if(x1*x2<0)
{
double L=i,R=i+1;
while((R-L)>=0.0001)
{
double mid=(L+R)/2;
if(f(mid)*f(R)<=0) L=mid;
else R=mid;
}
printf("%.2lf ",R);
cnt++;
}
if(cnt==3) break;
}
return 0;
}
-
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2020-05-30
12:28:06
标签：二分,num,路标,ll,int,最小值,查找,答案,最大值 来源： https://www.cnblogs.com/duhengerhou/p/12991974.html