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Matlab最短路问题

作者:互联网

实验目的

  掌握动态规划算法和最短路径求法,利用最短路径知识结合实际问题建立数学模型。

实验要求

  实验步骤要有模型建立,模型求解、结果分析。

实验内容

  (1)某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6中都有分公司,从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行、第j列元素给出(∞表示无直达航班),该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表,试作出这样的表来

  (2)求图5-28中每一结点到其他结点的最短路

  (3)一只狼、一只羊和一筐白菜在河的一岸,一个摆渡人想把它们渡过河去,但是由于他的船很小,每次只能带走它们之中的一样,由于明显的原因,狼和羊或者羊和白菜在一起需要人看守,问摆渡人怎样把它们渡过河去?

实验步骤

(1)解:该公司想算出一张任意两个城市之间最廉价路线表,可把这个路线表抽象成一副带权的无向图,于是问题等价于求每对顶点之间最短的问题。本题使用Floyd算法,用MATLAB编程求解

  首先,编写floyd.m文件,代码如下,

 1 %Floyd算法——每对顶点间的最短路径算法
 2 %输入:带权邻接矩阵w(i,j).
 3 %输出:距离矩阵D(i,j),R(i,j)
 4 function [d,r]=floyd(w)
 5 [m,n]=size(w);
 6 if n~=m
 7     error('输入的邻接矩阵行数不等于列数!!!');
 8 end    
 9 %预分配内存空间
10 d=zeros(n,n);
11 r=zeros(n,n);
12 %赋初值
13 for i=1:n
14     for j=1:n
15         d(i,j)=w(i,j);
16         r(i,j)=j;
17     end
18 end
19 k=1;
20 %更新d,r
21 while k<=n
22     for i=1:n
23         for j=1:n
24             if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)
25                 d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);
26                 r(i,j)=r(i,k);
27             end
28         end
29     end
30     k=k+1;
31 end
32 end
floyd.m

  求解,

  

  为了直观看出最廉价的线路表,这里编程输出,

 1 % DisplayPath.m 打印路径函数
 2 function DisplayPath(d,r)
 3 % 打印出任意两点之间的最短路径 
 4 % route : 路由表 
 5 % start : 起点index
 6 % dest : 终点index
 7 [m,n]=size(r);
 8 if(n~=m)
 9     error('输入的路径矩阵有误!!!');
10 end
11 for i=1:n
12     for j=i:n
13         if i~=j
14             start=i;
15             dest=j;
16            % fprintf('V%d->V%d\t%d$\t\t',i,j,d(i,j));%例题1
17             fprintf('V%d->V%d\t%d\t\t',i,j,d(i,j));
18             while 1
19                 if(r(start, dest) ~= dest)
20                     fprintf('V%s -> ', num2str(start));
21                     start = r(start, dest);
22                 else
23                     fprintf('V%s -> ', num2str(start));
24                     fprintf('V%s\n', num2str(dest));
25                     break;
26                 end
27             end
28         end
29     end
30 end
DisplayPath.m

  运行示例,

  

   所以,任意两城市之间最廉价的线路表如下:

序号

始(终)

终(始)

线路

票价

1

C1

C2

1→6→2

35

2

C1

C3

1→5→3,1→6→4→3

45

3

C1

C4

1→6→4,1→5→4

35

4

C1

C5

1→5

25

5

C1

C6

1→6

10

6

C2

C3

2→3

15

7

C2

C4

2→4

20

8

C2

C5

2→4→5

30

9

C2

C6

2→6

25

10

C3

C4

3→4

10

11

C3

C5

3→4→5,3→5

20

12

C3

C6

3→4→6

35

13

C4

C5

4→5

10

14

C4

C6

4→6

25

15

C5

C6

5→1→6,5→4→6

35

  (2)解:每一结点到其他结点的最短路,同样使用Floyd算法,MATLAB求解。解得,

   

  (3)解:设狼:1,菜:2,羊:3,人:4。

  方法1:

   不安全的组合:13,23,123;题目要求转移方案为安全,所以同样不能出现的组合:24,14,4。已知安全的组合:1234,12,34,1,2,3;

  人的转移设定可在河中来回(但是只能搭载一样),

  

   由上述分析可知,因为河中只能出现2位和1位(当且仅当对岸的组合是12:3时,人才能独自在河中出现)的组合,第1趟转移的安全组合:12和34;这两个组合中只有34有人也就是说,第一趟转移为:

  

  第二趟转移的关键是当人在回航时如果是独自回来的话,那么对岸的情况就是13或23,都是不安全状态,那么只能在回航时带回羊(3)了(因为不带回羊的话,只能带回刚运过去的,这就徒劳无功了)(有两种情况):

   ……

  只讨论左图的情况(右图以此类推),显然第3趟是把1移过对岸(因为3才运回出发点,并且把1移过去是安全的):

  

   显然,第4趟转移是把3转移过去,从而完美解决题目要求:

  

  综上所述,安全可行(没有多余的无用功)的转移方案有两个,都是4趟转移:

  方案1,第一趟:去(羊人),回(人);第二趟:去(狼人),回(羊人);第三趟:去(菜人),回(人);第四趟:去(羊人)。

  方案2,第一趟:去(羊人),回(人);第二趟:去(菜人),回(羊人);第三趟:去(狼人),回(人);第四趟:去(羊人)。

   方法2:

   由组合学知识,

  1位组合:1,2,3,4;

  2位组合:12,13,14,23,24,34;

  3位组合:123,124,134,234;

  4位组合:1234。

  其中不允许:123,13,23,4,14,24;因此共有10个允许状态,转移关系状态图如下,

   

  问题归结为求顶点1234到顶点0的最短路,将上图改画为下面形式:

  

  由上图可知,有两种过河方案且等优,如先将羊带到对岸,再将狼带到对岸同时把羊带回原处,将白菜带到对岸,最后把羊带过去。

小结

  在编写Floyd程序时,我在while循环那里的k值的约束写成了(k<n),运行之后怎么也得不到我想要的结果。我数次怀疑我对路径矩阵是不是理解错误了。于是,我不断回看路径矩阵的数学知识,后来实在忍不住我就开始一点一点地修改。在修改2个语句后,突然觉得,是不是循环的条件除了问题,果然是的。后来我编写了路径矩阵的输出,发现并不能把同一路线的所有情况输出,可看题1的表,是否有更好的输出算法呢?

 附录

  【1】最短路问题(1)  zlc

 

标签:10,13,12,end,V%,短路,问题,start,Matlab
来源: https://www.cnblogs.com/jianle23/p/12862270.html