Problem. L

题意简述：

给定一个有\(n\)个点竞赛图，其中有\(m\)条点不相交的已经定向的链，求其scc的个数的期望。答案对\(998244353\)取模。

数据范围：

\(n\le100000\)

解法：

竞赛图缩点之后会形成一条每个scc都向后面的scc连边的竞赛图。
先考虑\(m=0\)的情况。
枚举\(T\subseteq[n]\)，若所有\(T\)与\([n]\setminus T\)之间的边都是\(T\rightarrow [n]\setminus T\)，那么答案加\(1\)。
即\(ans=\sum\limits_{i=1}^n\frac{{n\choose i}}{2^{i(n-i)}}\)。
注意到每条链都是前一部分在\(T\)中后一部分在\([n]\setminus T\)中的形式，因此考虑枚举每条链有多少点在\(T\)中。
一条有\(k\)个点的链的多项式为\(P(x)=2\sum\limits_{i=0}^kx^i-(x^k+1)\)。
设\(Q(x)=\prod P(x)\)，那么\(ans=\sum\limits_{i=1}^n\frac{[x^i]Q(x)}{2^{i(n-i)}}\)。
利用分治NTT可以做到\(O(n\log^2n)\)。

标签：竞赛,limits,sum,scc,setminus,ans,Problem
来源： https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12833096.html