五边形数 笔记
作者：互联网
近日，一国外小哥学习了这个定理，竟然能预处理出整数划分的方案数！快跟小编来看看吧
这个小哥学习的定理，就是小编（我）接下来要讲的五边形数定理
好的，让我们一起来看看这个定理吧
五边形数是啥
用图来讲，就是若干个点，排成若干个五边形，需要多少个点。
百度百科上有一个很清楚的图：
它的通项公式为 \(a_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}\)，前面几项是 \(0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210...\)。你可以在 OEIS 上找到它，是序列 A000326
我们要研究的是 广义五边形数，是这样一个数列：\(p=a_0,a_{1},a_{-1},a_{2},a_{-2}...\)
其中，如果 \(p\) 的下标是负数，照样代入到上面的通项公式里算即可。容易证明，当 \(n<0\) 时，\(p_n\) 也是正的。前面几项是 \(0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117...\)，同样可以在 OEIS 上找到它是 A001318
它能干啥
欧拉函数（五边形数）
（为了和欧拉数论函数区别开来，这里给它起名叫欧拉函数-五边形数(*/ω＼*)
是这样一个函数：\(\varphi(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)...(1-x^\infin)=\prod\limits_{i=1}^{\infin} (1-x^i)\)
这东西有一个很神奇的性质。如果你闲的没事，可以暴力拆开它，发现它等于
\(x^0-x^1-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}...=\sum\limits_{i=1}^{\infin} (-1)^{(i+1)/2} x^{p_i}\)
系数：一个正，两个负，两个正，两个负，两个正，两个负...
指数：广义五边形数
与整数划分问题的联系
然后我们可以来解决整数划分问题。设 \(P(n)\) 表示将 \(n\) 分成若干个整数的无序方案（即，\(a+b\) 和 \(b+a\) 只算一次），同一个数可以用很多次。
比如，\(P(4)=5\)，因为 \(4\)
\(=1+1+1+1\)
\(=1+1+2\)
\(=1+3\)
\(=2+2\)
\(=4\)
特殊地，\(P(0)=1\)
我们求出 \(P(n)\) 的生成函数 \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infin} P(n)x^n\)
给它换个定义：我们要选出若干个（可以是 \(0\) 个） \(1\)，若干个 \(2\)，若干个 \(3\)...使得选出来的所有数和为 \(n\)。
这样就好考虑了。看这个式子：
\((1+x+x^2+x^3...)(1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3...)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3...)...\)
第一个因式表示我们能随便选择用多少个 \(x^1\)
第二个因式表示我们能随便选择用多少个 \(x^2\)
...
乘起来之后，考虑 \(x^n\) 的系数，你会发现它就是 \(P(n)\)！是不是特别巧妙φ(>ω<*)
于是 \(f(x)=(1+x+x^2+x^3...)(1+x^2+(x^2)^2+(x^2)^3...)(1+x^3+(x^3)^2+(x^3)^3...)...=\prod\limits_{n=1}^{\infin} \sum\limits_{i=0}^{\infin} (x^n)^i\)
然后我们用等比数列求和公式化一下，得到：
\(f(x)=\prod\limits_{n=1}^{\infin} \dfrac{1}{1-x^n}\)
我们发现它就是欧拉函数-五边形数的倒数(/≧▽≦/)！
即
\(\varphi(x)f(x)=1\)
也就是
\((1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}...)(\sum\limits_{n=0}^{\infin} P(n)x^n)=1\)
观察其中 \(x^n\) 项的系数（分别考虑左边和右边的括号出的是几次项），容易发现这个系数应该是 \(P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-5)+P(n-7)...\)
\(n=0\) 时，这个式子显然为 \(1\)。那么 \(n>0\) 时， \(x^n\) 乘以它的系数的和就得是 \(0\) 了。
然后我们发现等式右边是 \(1\)。并且原式为恒等式，所以 \(x\) 取任何值都成立。为了让 \(x\) 取任何值时等式都成立，对于 \(n>0\) 时，\(P(n)-P(n-1)-P(n-2)\) 这个可怜的等式只好取 \(0\) 了。
然后就得到了：
\(P(n)-P(n-1)-P(n-2)+P(n-5)+P(n-7)-P(n-12)-P(n-15)...=0\)
于是 \(P(n)=P(n-1)+P(n-2)-P(n-5)-P(n-7)+P(n-12)+P(n-15)...\)
然后 \(\le n\) 的五边形数是 \(\sqrt{n}\) 级别的（注意到五边形数的通项公式是二次的）
于是我们可以递推出 \(P(n)\)，是 \(O(n\sqrt{n})\) 的，是不是很厉害呢(✪ω✪)
好了，以上就是这个定理的全部内容了，喜欢记得收藏起来哟
标签：...,12,limits,infin,笔记,五边形,若干个 来源： https://www.cnblogs.com/LightningUZ/p/12820073.html