组合c(n,m)的计算方法
作者：互联网
方法一：暴力求解
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
long long C(int m, int n) {
int k = 1;// 相当于 C(m,n)
long long ans=1;
while(k<=n)
{
ans=((m-k+1)*ans)/k;
k++;
}
return ans;
}
int main()
{
printf("%lld", C(10 ,5));
}
方法二：杨辉三角打表
原理：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
long long c[10005];
int main()
{
cin>>n>>m;
m=min(m,n-m);//因为C[n][m]=C[n][n-m]，所以m可以取m和n-m中小的那一个，以节省时间。
c[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=m;j>=1;j--)
{
c[j]=c[j]+c[j-1];
}
}
cout<<c[m];
}
方法三：分解质因数
求解思路：
1. 筛法求出范围内的所有质数。
2. 通过 C(n, m) = n! / m! / (n - m)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int prime[1000],cnt=0,rat[1000];
bool p[1000];
void findprime(int n)//欧拉筛来找素数
{
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!p[i])
prime[cnt++] = i;
for (int j = 0; j < cnt; j++)
{
if (i*prime[j] > n)break;
p[i*prime[j]] = true;
if (i%prime[j] == 0)break;
}
}
}
int rate(int n, int p)//分解质因数,求得每个质因数在n！中的出现个数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
vector<int>mul(vector<int>a, int b)//高精度乘法*低精度数字（此时的a一直是反着的，所以最后反着输出）
{
vector<int>answer;
int t=0;//进位数
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
{
t += a[i] * b;
answer.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t)//处理最高位的数字，防止最高位的数字大于9
{
answer.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return answer;
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
findprime(n);
for (int i = 0; i < cnt; i++)
rat[i] = rate(n, prime[i]) - rate(m, prime[i]) - rate(n - m, prime[i]);//计算每个质因数的幂的次数
vector<int>fin;
fin.push_back(1);
for (int i = 0; i < cnt; i++)//所有质因数的迭代
for (int j = 0; j < rat[i]; j++)// rat[i]是每个质因数在合数中的次数，所以这里是将每个质因数乘rat[i]次
fin = mul(fin, prime[i]);
for (int i = fin.size() - 1; i >= 0; i--)
printf("%d", fin[i]);
}
代码步骤讲解
1.欧拉筛来找素数
如果对欧拉筛不熟悉，点击此处查看。
2.分解质因数,求得每个质因数在n！中的出现个数
求N!中素因子p的个数，也就是N!中p的幂次
公式为：cnt=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...+[n/p^k];
例如：N=12,p=2
12/2=6,表示1~12中有6个数是2的倍数，即2,4,6,8,10,12
12/2^2=6/2=3，表示1~12中有3个数是4的倍数，即4,8,12，它们能在提供2的基础上多提供一个2
12/2^3=3/2=1，表示1~12中有1个数是8的倍数，即12，它能在提供两个2的基础上又多提供一个2
代码就是
int rate(int n, int p)//分解质因数,求得每个质因数在n！的出现个数
{
int res = 0;
while (n)
{
res += n / p;
n /= p;
}
return res;
}
效果：
例如求c(5,3)，则通过代码首先要计算5的质因数：2 3 5；
之后分别计算每个质因数在n中的出现个数：rate（2）=3；rate（3）=1；rate（5）=1；而5！=5 * 4 * 3 * 2 *1；其中将合数转换为素数，则2出现的个数就是rate（2）的值：3次（一个4，一个2，相当于3个2），3、5的出现次数各为1
而每个质因数在n！的出现的个数就是每个质因数在n！中对应的幂数
3.使用C(n, m) = n! / m! / (n - m)! 这个公式求出每个质因子的次数
我们上一步计算出了每个质因数在n！中的幂数，而类比就能求出在m！、（n-m）！中的幂数，而C(n, m) = n! / m! / (n - m)! 这个式子的值就是各个质因子在n！中的幂数-在m！中的幂数-在（n-m）！中的幂数，即
for (int i = 0; i < cnt; i++)
rat[i] = rate(n, prime[i]) - rate(m, prime[i]) - rate(n - m, prime[i]);//计算每个质因数的幂的次数
4.高精度乘法计算结果
至此，我们将C(n, m)的值转换为了多个质因子的若干幂次方的乘积，我们通过高精度*低精度来计算（大数运算知识：请点击此处了解）
vector<int>mul(vector<int>a, int b)//高精度乘法*低精度数字（此时的a一直是反着的，所以最后反着输出）
{
vector<int>answer;
int t=0;//进位数
for (int i = 0; i < a.size(); i++)
{
t += a[i] * b;
answer.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
while (t)//处理最高位的数字，防止最高位的数字大于9
{
answer.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return answer;
}
在大数的乘法计算中，首先是要把原来的大数求逆后再从前往后计算，最后再将答案逆序输出，但是此时看似vector<int>a未求逆就直接乘了，最后还是逆序输出？？？
其实这里的原因是vector<int>a的初始化其实是1，这里的1要理解成已经是求逆后的（单个数字求逆还是原数）
例如：初始a中是1，令b=5；开始1 *5 =5；vector<int>p中是5
再调用mul函数，就是5 *5 =25；此时vector<int>p中是52
再调用mul函数，就是25 *5 =125；此时vector<int>p中是521
最后逆序输出就是125
for (int i = 0; i < cnt; i++)//所有质因数的迭代
for (int j = 0; j < rat[i]; j++)// rat[i]是每个质因数在合数中的次数，所以这里是将每个质因数乘rat[i]次
fin = mul(fin, prime[i]);
最后将所有的质因子都乘rat[i]遍，再去乘别的质因子，最后将结果逆序输出就是C(n, m)的值
参考：
https://blog.csdn.net/weixin_33895016/article/details/94615900
标签：prime,12,组合,int,rat,rate,质因数,计算方法 来源： https://www.cnblogs.com/Jason66661010/p/12811358.html