狄利克雷函数

 

1.基本概念

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（1805－1859），德国数学家，创立了现代函数的正式定义。

狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做，专门有个符号来表示：

 

 

 

 用严谨的数学表达式可以写成如下格式：

 

 

大白话解释：

（1）首先第一个明白什么是有理数，无理数，小学我们就学过，无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数,任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。

注意：（3.000也是有限小数，也就是说整数可以化成小数形式，即所有整数都是有理数）

（2）然后你要知道有理数是2个整数相除的形式，而无理数不能写成2个整数相除。k！是k的阶乘，就是1×2×...×k。如果k趋于无穷那么k！就是所有整数的成乘积。所以x如果是有理数那么xk！就是整数(有理数放大无穷大倍数，就变成整数)。cos pi  k！x的值只能是±1，外面再乘一个2次方变1。然后就一直是1了。反之x是无理数，xk！一定不是整数，cos pik！x就不能等于+-1，根据余弦函数的值域，cospik！x就只能取绝对值小于1的数了，那么在外面在来个2j次方，j趋于无穷，最后一定是0啊。

标签：无理数,有理数,函数,狄利克,整数,有限小数
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