题目

  点这里看题目。

分析

  可以发现，一组装备可以同时购买的条件是这组装备线性无关。
  首先不难发现一个拟阵\(M=<S,I>\)，其中：
  \(S\)为装备的集合；如果\(A\subseteq S\)，那么\(A\in I\)当且仅当\(A\)内的元素线性无关。
  显然\(M\)是一个子集系统，考虑一下它的交换性：
  对于\(A,B\in I\)，如果\(|A|<|B|\)，我们需要证明\(\exists x\in B-A, A\cup \{x\}\in I\)，即新的集合仍然线性无关。
  考虑反证法，即假设不存在这样的\(x\)。这意味着\(\forall x\in B-A\)，\(x\)都可以在\(A\)中表示出来。那么\(B\)中的元素都可以在\(A\)中表示出来。这意味着\(B\)的线性空间包含在\(A\)的线性空间内。由于\(|A|<|B|\)且\(A,B\)各自线性无关，矛盾。因此存在交换性。
  因此这是一个拟阵。我们就可以按照装备的花费，维护线性无关组，从小到大进行贪心。
  怎么维护线性无关组呢？
  如果每次检查都用高斯消元，时间会被卡到\(O(n^4)\)，当然是不可以的。
  我们一个常用于维护线性无关组的结构——线性基。
  考虑魔改线性基。我们将向量看成 “ \(x\) 进制 ” 的数。插入向量\(\boldsymbol z\)的时候，在\(x_i\)位上，如果没有元素就插入\(z\)；否则我们用线性基上的元素，将\(\boldsymbol z\)上的\(x_i\)的系数消成 0 。对于一个向量，如果可以插入到线性基中，就说明它加入后组内仍然是线性无关的，需要计入答案。
  时间\(O(n^3)\)。

代码

标签：JLOI2015,装备,元素,无关,购买,线性,拟阵,向量
来源： https://www.cnblogs.com/crashed/p/12742251.html