其他分享
首页 > 其他分享> > P6270 [SHOI2002]取石子游戏 题解

P6270 [SHOI2002]取石子游戏 题解

作者:互联网

CSDN同步

原题链接

POJ链接

简要题意:

双方轮流拿石子,共两堆石子,每次可以拿去一堆中的任意个或者两堆中的相同多个。先走方是否一定能获胜(失败)?

博弈论经典:威佐夫博弈 模板题。

显然,我们用 \(P\) 态表示必败态,\(A\) 态表示必胜态,用 \(f_{x,y}\) 表示两堆分别为 \(x\) 个和 \(y\) 个的状态。显然:

\[f_{x,y} \in \bigg( A,P \bigg) \]

然后,先规定边界:

\[f_{0,0} = P , f_{0,x} = f_{x,0} = A \]

\[f_{x,y} = f{y,x} \]

我们只需考虑 \(x<y\) 的情况。

去处边界,\(f_{1,2} = P\),这是显然的,你无论如何都是输。

然后,\(f_{1,k} = A(k >2)\),这是因为,你只要把 \(k\) 个石子降为 \(2\) 个石子,然后对方是先手,\(\because f_{1,2} = P\),\(\therefore f_{1,k} = A(k > 2)\).其中式子中可以认为 \(P=0,A=1\).

同理,\(f_{2,k} = A(k>1)\),因为 \(f_{2,1} = P\),把 \(k\) 堆石子弄成一堆就行。

从上面可以看出,如果把 \(f_{x,y}\) 写在平面直角坐标系上,那么 每一列只有一个 \(P\) 态(因为其它的都转移成它)。

我们继续寻找 \(f_{3,k} = P\) 的 \(k\) 值。

下面,我们用 \(x^1\) 表示 \(x\) 状态的取反值。(取反即 \(P \gets A\),\(A \gets P\))

\[f_{3,4} = f(1,2)^1 = P^1 = A \]

\[f_{3,5}=\max(f_{3,4},f_{3,3},f_{2,4},f_{1,3})^1 = A^1 = P \]

\(\max\) 即在所有状态中取最优解(能赢则赢,全输则输)。

因此,\(f_{1,2}\),\(f_{3,5}\) 是 \(P\) 态。

然后经过类似枚举发现:(其实是用电脑动态规划打表的

\(f_{1,2} , f_{3,5},f_{4,7},f_{6,10},f_{8,13} = P\)

这时我们大概发现了一点规律。

首先,第 \(i\) 个 \(P\) 态一定是 \(f_{x,x+i}\) 的形式。

你发现这个数列有极了规律。

第 \(i\) 个 \(P\) 态应当时 \(f(m_i,m_i+i)\),其中 \(m_i\) 表示前 \(i-1\) 个 必败态中未出现的最小数

什么意思?比方说,第 \(3\) 个 \(P\) 态。

前面出现过 \(1,2,3,5\),\(\therefore\) 就是 \(f_{4,4+3} = f_{4,7}\)

然后,给出一段伪代码,求出前 \(1\) ~ \(10^5\) 的 \(P\) 态。

freopen("data.txt","w",stdout);
	bool h[1000001]; int last=1; //last表示上次出现的位置,用来优化搜索,保证线性
	memset(h,0,sizeof(h)); //桶清0
	for(int i=1;i<=100000;i++) {
		for(int j=last;j<=INT_MAX;j++)
			if(!h[j]) {
				last=j; h[j]=1; h[j+i]=1;
				printf("%d %d\n",j,j+i);
				break;
			}
	}

时间复杂度是 \(O(10^5)\),然后我们得到一个表:

打表真快乐

(如果你想分析,也可以试着分析一下这种大数据)

(天哪,你不会以为我想把 \(10^9\) 的表滚出来然后交吧,不好意思)

然后经过 看题解 分析发现:

\[m_i = i \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]

然后直接判断即可。

时间复杂度:\(O(n)\).

期望得分;\(100pts\).

实际得分:\(90pts\).(始终不知道怎么错的,但 \(\texttt{POJ}\) 上交是 \(\text{AC}\) 的)

#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll; //后来调试无果开了 long long

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int main(){
	ll a,b;
	while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF) {
		if(a<b) swap(a,b);
		a=(int)((a-b)*(1+sqrt(5))/2.0);
		if(a==b) puts("0");
		else puts("1");
	}
	return 0;
}

标签:10,ch,题解,石子,long,P6270,然后,include,SHOI2002
来源: https://www.cnblogs.com/bifanwen/p/12622836.html