四个基本空间
作者：互联网
概述
讨论矩阵的四个基本子空间，通过维数和基来深入了解四个子空间。
列空间
列空间我们都熟悉了，就是矩阵列线性组合组成的空间。
- 位于: \(R^m\)空间
- 维数：r
- 一组基：主元列
零空间
零空间也并不陌生，使\(Ax=0\)的所有x组成的空间
- 位于: \(R^n\)空间
- 维数: n-r
- 一组基: 特解
行空间
行空间可以看作\(A^T\)的列空间
一个有趣的性质是一个矩阵的秩如果是r，那么它的转置的秩也是R，所以行空间的维数得到了。是m-r
从基的定义我们知道，对于行空间的一组基，其实就是那些线性无关行组成的集合，那不正是简化行阶梯型(rref)中的非零行嘛，也就是前r行。
- 位于: \(R^n\)空间
- 维数: r
- 一组基: rref中的前r行
左零空间
左零空间是行空间的零空间，也可以看作\(A^T\)的零空间，也就是使得\(A^Ty=0\)的所有y组成的空间
为啥叫左零空间？？因为\(A^Ty=0\)可以看作\((A^Ty)^T=0^T\)，也就是\(y^TA=0\)。
再重复一遍这个公式：\(y^TA=0\)
嘶根据矩阵的乘法规则，那\(y^T\)不就是简化行阶梯中的零行所对应消元矩阵嘛的行嘛。
所以用高斯若尔当法求出消元矩阵，再取后m-r行就可以了嘛。。。
- 位于: \(R^m\)空间
- 维数: m-r
- 一组基：A消元矩阵的后m-r行
参考资料
标签：基本空间,一组,Ty,矩阵,维数,空间,四个,零空间 来源： https://www.cnblogs.com/lilpig/p/12491255.html