0.背景起源

1820年，奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意，但是可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打，最后发现了电流的磁效应，也就是说电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么这个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢？比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度的多大呢？这种思路拓展很自然吧，定性的发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它，还可以精确的计算它，才算完全了解。

三个月，在奥斯特正式发表他的发现仅仅三个月之后，毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名的毕奥-萨伐尔定律。也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律，我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐。

又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。顺便，安培还总结了一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）。

们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小，用安培定则判断磁场的方向。那么，我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁，秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能够生磁，那么磁能不能生电呢？由于种种原因，奥斯特在1820年发现了电生磁，人类直到11年后的1831年，才由天才实验物理学家法拉第发现了磁生电的规律，也就是电磁感应定律。法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电。其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的，所以它只能处理电流周围表示磁场的情况。于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充，把变化的电场也能产生磁场这一项也添加了进去，补齐了这最后一块短板。

在奥斯特发现电流的磁效应之前，人类已经单独研究电研究了好长时间，人们发现电荷有正负两种，而且同性相斥，异性相吸。后来库伦发现了电荷之间相互作用的定量关系，它发现电荷之间的作用力跟距离的平方成反比的。也就是说，如果我把两个电荷之间的距离扩大为原来的两倍，这两个电荷之间的作用力就会减少为原来的四分之一，扩大为三倍就减少为九分之一。这个跟引力的效果是一样的，引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一。为什么大自然这么偏爱“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里。

假设现在有一个点源开始向四面八方传播，因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻能量达到的地方就会形成一个球面。而球面的面积公式S=4πr²（r为半径），它是跟半径的平方r²成正比的，这也就是说：我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr²个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟4πr²成反比，这就是平方反比定律的更深层次的来源。

果我们生活在四维空间里，我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科学家们寻找高维度的一个方法。许多理论（比如超弦理论）里都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力，如果引力在一个很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度。

好了，从更深层次理解了静电力遵循平方反比定律后，要猜出静电力的公式就是很简单的事情了。因为很明显的，两个电荷之间的静电力肯定跟两者的电荷量有关，而且还是电荷越大静电力越大，加上距离平方反比规律，两个电荷之间的静电力大致就是下面这样的了：

这就是我们中学学的库伦定律：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，剩下的都是常数。q1、q2就是两个电荷的电荷量，ε0是真空的介电常数（先不管它是啥意思，知道是个跟电相关的常数就行了），我们熟悉的球面积公式S=4πr²赫然出现在分母里，这是三维空间平方反比规律的代表。

有了场，我们就可以更加细致的描述两个电荷之间的相互作用了。为什么两个电荷之间存在这样一个静电力呢？因为电荷会在周围的空间中产生一个电场，这个电场又会对处在其中的电荷产生一个力的作用。这个电场的强度越大，电荷受到的力就越大，正电荷受力的方向就是这点电场的方向。所以，电场具有大小和方向，这是一个矢量。

1.积分篇

为了直观形象的描述电场，我们引入了电场线。电场线的密度刚好就代表了电场强度的大小，而某点电场线的切线方向就代表了该处电场的方向。一个正电荷就像太阳发光一样向四周发射电场线，负电荷就汇集电场线。

如果有很多个电荷，我就把每个电荷在这点产生的电场强度算出来，再把它们叠加起来就行了。如果这是一个连续的带电体（比如一根带电的线），那我们就再次举起牛顿爵爷留给我们的微积分大刀，哗啦啦地把这个带电体切成无数个无穷小的部分，这样每一个无穷小的部分就可以看做一个点电荷，然后把这无数个点电荷在那点产生的电场强度叠加起来（就是积分）就行了。

我们上面的思路其实就是秉着“万物皆可切成点，万物皆可积”的精神，强行让库伦定律和微积分联姻，“硬算”出任何带电体在任意位置的场强。里就涉及到科学研究的一个重要思想：把握变化世界里那些不变的东西。牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同不变的东西，不管物体怎样运动，受到什么样的力，这个东西只由物体的密度和体积决定，于是牛顿从中提炼出了质量的概念（当然，现在质量是比密度体积更基本的概念）；科学家们发现物体在各种变化的过程中有某种守恒的东西，于是提炼出了能量的概念。那么，带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能也提炼出某种不变的东西呢？

从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量。通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量，通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量就越大，反之亦然。这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想。

总之，上面这个式子就代表了电场E通过闭合曲面S的总电通量，而我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比。那么，这样我们就能非常轻松的理解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：

通量的概念很好建立，我们可以完全模仿电通量的概念，将磁感线通过一个曲面的数量定义磁通量。因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度（因为历史原因，我们这里无法使用磁场强度）的大小。所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为B的磁场通过一个平面a的磁通量Φ表示为Φ=B·a。

同样，根据我们在上面电场里使用的微积分思想，类比通过闭合曲面电通量的作法，我们可以把通过一个闭合曲面S的磁通量表示为：

然后，我们可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律，它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。

然而这里会有个问题，我们知道自然界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集与负电荷。但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存。所以，磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头，也不会汇集到某个地方去，它只能是一条闭合的曲线。

上图是一个很常见的磁铁周围的磁感线，磁铁外部的磁感线从N极指向S极，在磁铁的内部又从S极指向N极，这样就形成一个完整的闭环。

如果磁感线都是一个闭环，没有独立存在的磁单极，那我们可以想一想：如果你在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定就是有多少磁感线从曲面进去，就肯定有多少跟磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出，那它就不可能是闭合的了，反之亦然。进去的磁通量跟出来的磁通量相等，那么最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0。

所以高斯磁场定律的数学表达式就是这样的：

对比一下高斯电场定律和高斯磁场定律，我们会发现他们不仅是名字想象，思想也几乎是一模一样的，只不过目前还没有发现磁荷、磁单极子，所以高斯磁场定律的右边就是一个0。

我们可以用这个量的变化dy和给定的时间dt的比值dy/dt来衡量量这个量y变化的快慢。所以，我们现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了，那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：

电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱动导体中的自由电子定向移动，从而形成电流。因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场。

首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈。而且，你这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕，如下图：

如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样，这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这里环里流动一样。

这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流，电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分。闭合路径好说，你只有路径是闭合的，才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场。

所以，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：

方程右边的磁通量的变化率和和左边的感生电场环流我们上面都说了，还有一个需要说明的地方就是公式右边的这个负号。为什么磁通量的变化率前面会有个负号呢？

假如原来的磁通量是增加的，那么这个增加的磁通量感生出来的电场产生的磁通量是跟原来方向相同还是相反？仔细想想你就会发现，答案必然是相反。如果原来的磁通量是增加的，你感生出来的电场产生的磁通量还跟它方向相同，这样不就让原来的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照这个逻辑就会感生出更强大的电场，产生更大的与原来方向相同的磁通量，然后又导致原来的磁通量增加得更快……

然后你会发现这个过程可以无限循环下去，永远没有尽头，这样慢慢感生出无限大的电场和磁通量，这肯定是不可能的。所以，为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的，我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然。这就是楞次定律的内容，中学的时候老师会编一些口诀让你记住它的内容，但是我想让你知道这是一个稳定系统自然而然的要求。楞次定律背后还有一些更深层次的原因，这里我们暂时只需要知道这是法拉第定律那个负号的体现就行了。

确实，是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的。

如上图，假设电流从下往上，那么它在周围就会产生这样一个环形的磁场。磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线，拇指指向电流的方向，那么你右手四指弯曲的方向就是磁场B的方向。

 

然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场的大小是怎样的。于是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理。其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律，安培环路定理就类似于高斯电场定律，因为在麦克斯韦方程组里，我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：

                                                                                           

安培环路定理的左边跟法拉第定律的左边很相似，这是很显然的。因为法拉第定律说磁通量的变化会在它周围产生一个旋转闭合的电场，而电流的磁效应也是在电流的周围产生一个旋转闭合的磁场。在上面我们已经说了我们是用电场环流（也就是电场在闭合路径的线积分）来描述这个旋转闭合的电场，那我们这里一样使用磁场环流（磁场在闭合路径的线积分）来描述这种旋转闭合的磁场。

安培环路定理的右边就比较简单了，μ0是个常数（真空磁导率），不用管它。I通常是用来表示电流的，enc这个右标我们在高斯电场定律那里已经说过了，它是包含的意思。所以，右边这个带enc的电流I就表示被包含在闭合路径里的总电流，哪个闭合路径呢？那自然就是你左边积分符号中间那个圈圈表示的闭合路径了。

也就是说，安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈，那么这个磁场的环流（沿着这个圈的线积分）就等于这个圈里包含的电流总量乘以真空磁导率。

在安培环路定理里，我们可以随意选一个曲面，然后所有穿过这个曲面的电流会在这个曲面的边界上形成一个环绕磁场，问题的关键就在这个曲面的选取上。按理说，只要你的这个曲面边界是一样的，那么曲面的其他部分就随便你选，因为安培环路定理坐标的磁场环流只是沿着曲面的边界的线积分而已，所以它只跟曲面边界有关。下面这个例子就会告诉你即便曲面边界一样，使用安培环路定理还是会做出相互矛盾的结果。

上图是一个包含电容器的简单电路。电容器顾名思义就是装电的容器，它可以容纳一定量的电荷。一开始电容器是空的，当我们把开关闭合的时候，电荷在电池的驱动下开始移动，移动到了电容器这里就走不动了（此路不通），然后电荷们就聚集在电容器里。因为电容器可以容纳一定量的电荷，所以，当电容器还没有被占满的时候，电荷是可以在电路里移动的，电荷的移动就表现为电流。

 

所以，我们会发现当我们在给电容器充电的时候，电路上是有电流的，但是电容器之间却没有电流。所以，如果我们选择上图的曲面，那么明显是有电流穿过这个曲面，但是，如果我们选择下面这个曲面呢（此处图片来自《麦克斯韦方程直观》，需要的可以后台回复“麦克斯韦方程组”）？

这个曲面的边界跟上图一样，但是它的底却托得很长，盖住了半块电容器。这是什么意思呢？因为我们知道电容器在充电的时候，电容器里面是没有电流的，所以，当我们把曲面选择成下面这个样子的时候，根本就没有电流穿过这个曲面。

也就是说，如果我选上面的曲面，有电流穿过曲面，按照安培环路定理，它是肯定会产生一个环绕磁场的。但是，如果我选择下面的曲面，就没有电流通过这个曲面，按照安培环路定理就不会产生环绕磁场。而安培环路定理只限定曲面的边界，并不管你曲面的其它地方，于是我们就看到这两个相同边界的曲面会得到完全不同的结论，这就只能说明：安培环路定理错了，或者至少它并不完善。

我们再来想一想，电容器在充电的时候电路中是有电流的，所以它周围应该是会产生磁场的。但是，当我们选择下面那个大口袋形的曲面的时候，并没有电流穿过这个曲面。那么，到底这个磁场是怎么来的呢？

我们再来仔细分析一下电容器充电的过程：电池驱使着电荷不断地向电容器聚集，电容器中间虽然没有电流，但是它两边聚集的电荷却越来越多。电荷越来越多的话，在电容器两个夹板之间的电场强度是不是也会越来越大？电场强度越来越大的话，有没有嗅到什么熟悉的味道？

没错，电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大。因此，我们可以看到虽然没有电流通过这个曲面，但是通过这个曲面的电通量却发生了改变。这样，我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里。因为这项工作是麦克斯韦完成的，所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律：

把它和安培环路定理对比一下，你就会发现它只是在在右边加了变化的电通量这一项，其它的都原封未动。E·a是电通量，套个面积分符号就表示通过曲面S的电通量，再加个d/dt就表示通过曲面S电通量变化的快慢。因为在讲法拉第定律的时候我们详细讲了通过曲面磁通量变化的快慢，这里只是把磁场换成了电场，其他都没变。

ε0是真空中的介电常数，把这个常数和电通量变化的快慢乘起来就会得到一个跟电流的单位相同的量，它就被称为位移电流，如下图：

所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说。其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一项，因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说。在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能跟其他的几条定律和谐相处了。而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，这最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至关重要。

因为你想想，预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”，这样变化的磁场和电场就能相互感生传向远方，从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场，这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？电场变了，磁通量变了，于是就产生了磁场。至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释，这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。

我不知道大家是怎么考虑的，反正我觉得下面这条思路是很自然的：如果要用四个方程描述电磁的一切，那么我就用第一个方程描述电，第二个方程描述磁，第三个方程描述磁如何生电，第四个方程描述电如何生成磁。嗯，好巧，麦克斯韦方程组就是这样的～

至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：

高斯电场定律说穿过闭合曲面的电通量正比于这个曲面包含的电荷量。

高斯磁场定律说穿过闭合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律说穿过曲面的磁通量的变化率等于感生电场的环流。

安培-麦克斯韦定律说穿过曲面的电通量的变化率和曲面包含的电流等于感生磁场的环流。

我们看到，在这里从始至终都占据着核心地位的概念就是通量。

如果一个曲面是闭合的，那么通过它的通量就是曲面里面某种东西的量度。因为自然界存在独立的电荷，所以高斯电场定律的右边就是电荷量的大小，因为我们还没有发现磁单极子，所以高斯磁场定律右边就是0。

2.微分篇

积分形式的高斯电场定律：左边表示通过闭合曲面S的电通量（E是电场强度，我们把面积为S的闭合曲面分割成许多小块，每一个小块用da表示，那么通过每一个小块面积的电通量就可以写成E·da。套上一个积分符号就表示把所有小块的电通量累加起来，这样就得到了通过整个闭合曲面S的电通量），右边那个带了enc下标的Q就表示闭合曲面包含的电荷量，ε0是个常数。这些内容我在积分篇里都详细说过了，这里不再多言。

下面是重点：因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么我们就不妨来学习一下孙悟空，变小变小再变小，我让这个闭合曲面也一直缩小缩小，缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢？

这里会涉及一丢丢极限的概念，我们这样考虑：一个闭合曲面缩小到无穷小，其实就是它的表面积或者体积无限趋向于0。也就是说，我假设有一个球的体积为ΔV，然后让这个ΔV无限趋近于0，那这样就可以表示这个球缩小到无穷小了。用数学符号可以记成这样：

Lim就是英文单词极限（limit）的缩写，ΔV通过一个箭头指向0可以很形象的表示它无限趋近于0。有了这个极限的概念，我们就可以很自然的表示通过这个无穷小曲面的电通量了（直接在电通量的前面加个极限符号），这时候高斯电场定律就成了这样：

这样，我们就把高斯电场定律从宏观拉到了微观：方程的左边表示曲面缩小到无穷小时的电通量，方程的右边表示无穷小曲面包含的电荷量。但是，当曲面缩小到无穷小的时候，我们再使用电荷量Q就不合适了，所以我们改用电荷密度（符号为ρ）。电荷密度，从名字里我们就能猜出它表示的是单位体积内包含电荷量的大小，所以它的表达式应该是用电荷量除以体积，即：ρ=Q/V。

所以，如果我们把微观的高斯电场定律左右两边都同时除以体积ΔV，那么右边的电荷量Q除以体积Δ就变成了电荷密度ρ，左边我们也再除以一个ΔV，那么公式就变成了下面这样：

公式的右边除以一个体积ΔV，就成了电荷密度ρ除以真空介电常数ε0，那左边呢？左边原来是通过无穷小曲面的电通量，这玩意除以一个体积ΔV之后表示什么呢？这一长串的东西，我们给它取了个新名字：散度。

讲完了磁生电的法拉第定律，我们麦克斯韦方程组就只剩最后一个电生磁的安培-麦克斯韦定律了。它描述的是电流和变化的电场如何产生旋涡状的感生磁场的，因为它电的来源有电流和变化的电场两项，所以它的形式也是最复杂的。方程的积分形式如下：

左边的磁场的环流，右边是曲面包围的电流（带enc下标的I）和电场的变化率。它告诉我们，如果我们画一个曲面，通过这个曲面的电流和这个曲面里电通量的变化会在曲面的边界感生出一个旋涡状的磁场出来，这个旋涡状的磁场自然是用磁场的环流来描述。

可以想象，当我们用同样的方法把这个曲面缩小到无穷小的时候，如果我们在方程的左右两边都除以这个曲面的面积，那么方程的左边就成了磁场B的旋度▽×B，右边的两项除以一个面积会变成什么呢？

电通量的变化率除以面积之后就剩下电场的变化率∂E/∂t，这个跟法拉第定律的磁通量变化率除以面积类似。那么电流（带enc的I）那一项呢？电流I除以面积得到的东西是什么？这里我们定义了一个新的物理量：电流密度J。很显然，这个电流密度J就是电流除以电流通过的曲面的面积（注意不是体积）。相应的，电流密度的单位是A/m²（安培每平方米）而不是A/m³。

这样，麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律的微分形式就自然出来了：

虽然还是有点长，但是相比积分形式已经是相当良心了，它告诉我们某一点感生磁场的旋度▽×B等于电流密度J和电场变化率∂E/∂t两项的叠加。其实它跟积分形式讲的都是一回事，都是在说电流和变化的电场能够产生一个磁场，只不过积分形式是针对一个曲面，而微分形式只是针对一个点而已。

至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的微分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：

高斯电场定律说电场的散度跟这点的电荷密度成正比。

高斯磁场定律说磁场的散度处处为0。

法拉第定律说感生电场的旋度等于磁感应强度的变化率。

安培-麦克斯韦定律说感生磁场的旋度等于电流密度和电场强度变化率之和。

 

 

 

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