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NP完全问题以及在编译器领域的求解

作者:互联网

NP完全问题以及在编译器领域的求解

简介

​ NP完全问题(NP-C问题),是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题,即多项式复杂程度的非确定性问题。

​ NP类问题:所有的非确定性多项式时间可解的判定问题构成NP类问题。非确定性算法:非确定性算法将问题分解成猜测和验证两个阶段。算法的猜测阶段是非确定性的,算法的验证阶段是确定性的,它验证猜测阶段给出解的正确性。设算法A是解一个判定问题Q的非确定性算法,如果A的验证阶段能在多项式时间内完成,则称A是一个多项式时间非确定性算法。有些计算问题是确定性的,例如加减乘除,只要按照公式推导,按部就班一步步来,就可以得到结果。但是,有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如,找大质数的问题。有没有一个公式能推出下一个质数是多少呢?这种问题的答案,是无法直接计算得到的,只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法,它不能直接告诉你答案是什么,但可以告诉你,某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法,假如可以在多项式(polynomial)时间内算出来,就叫做多项式非确定性问题。

​ NPC问题:NP中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性相关联.这些问题中任何一个如果存在多项式时间的算法,那么所有NP问题都是多项式时间可解的.这些问题被称为NP-完全问题(NPC问题)。

有趣的例子

​ 在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。

​ 生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。 不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

求解方法

​ 有些计算问题是确定性的,比如加减乘除之类,你只要按照公式推导,按部就班一步步来,就可以得到结果。但是,有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如,找大质数的问题。有没有一个公式,你一套公式,就可以一步步推算出来,下一个质数应该是多少呢?这样的公式是没有的。再比如,大的合数分解质因数的问题,有没有一个公式,把合数代进去,就直接可以算出,它的因子各自是多少?也没有这样的公式。

​ 这种问题的答案,是无法直接计算得到的,只能通过间接的“猜算”来得到结果。这就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法,它不能直接告诉你答案是什么,但可以告诉你,某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法,假如可以在多项式时间内算出来,就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案,都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话,就叫完全多项式非确定问题。

​ 完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案,一个个检验下去,最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度,是指数关系,因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长,很快便变得不可计算了。

​ 人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题存在一个确定性算法,可以在多项式时间内直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。

​ 解决这个猜想,无非两种可能,一种是找到一个这样的算法,只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法,所有这类问题都可以迎刃而解了,因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能,就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。

搜索法:

近邻法
插入法
模拟退火算法
遗传算法
神经网络算法

编译器实践中存在的NP完全问题

​ 编译器相关的NP完全问题,主要涉及指令调度、寄存器分配,指令和数据安排,一般采用近似算法来获取答案。这些NP完全问题,虽然看起来与诸如表达式的代数重新关联这种问题相近 。但后者有着大量的解决方案,更糟的是,对于这些NP完全问题来说,所要的解往往取决于编译器和应用程序代码中的上下文信息。在编译器对此类问题近似求解时,会面临编译时间和可用内存上的限制。好的编译器会巧妙地混合理论、实践知识、技术和经验。

参考:

《编译器设计》

https://baike.baidu.com/item/NP%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%97%AE%E9%A2%98/4934286?fr=aladdin

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标签:求解,多项式,算法,问题,编译器,确定性,答案,NP
来源: https://blog.csdn.net/weixin_46222091/article/details/104408515