让微积分穿梭于工作与学习之间（21）：圆弧直线的定积分（投影面积）及其在趋于直线时的极限（上，特殊位置）
作者：互联网
对CAD圆弧直线不了解的朋友可以先阅读以下博文：
https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103837857
https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/103848611
自新型肺炎疫情爆发以来，我所在的城市（不是武汉）可是一天比一天安静，同时我也能静下心来做更多的一些研究。但可惜这个积分我始终找不到比参数方程更好的方法。
之前想过用隐函数求积分的，但是大学好像就没学过这个。然后百度了下发现是考研数学的内容，那么我也不打算讲了，关键是用隐函数反倒把问题搞得更加复杂。
在第13和第14篇我们计算了一些特殊位置的圆弧积分，当时是为了方便演示整个面积的计算，而现在我们深入到了单段线，那就研究一般情况好了。根据14篇多值函数的情况，我们用参数方程来进行积分会更为合适。
圆的参数方程为
其中t为参数，代表该点跟圆心的连线与x轴正半轴的夹角。
然后如果圆弧的积分可以这样来算。
为了避免多值函数在积分限的位置不好描述的尴尬，我写成了不定积分。
然后在此基础上进一步展开，得到
式中的C代表任意常数，对这个不了解的朋友可以自行查阅相关教材或者留言咨询。
求出不定积分的结果之后，我们就可以用上下限（eα和sα）相减的方法求出它的定积分（投影面积）了。
对于圆弧来说，代入R，eα和sα即可得到结果。但当它趋于直线的时候，R趋于无穷大，然后eα和sα又不知道是什么情况，所以需要进行极限计算。
为了搞清楚这些变量的关系，我们此处把特殊位置的图搬过来作进一步分析。
图中∠ACS等于-sα，∠ACE=-eα，蓝色部分的面积的相反数代表积分的结果，然后我们用动图来观察下当圆弧SE趋于直线时它们的变化。
不难发现，当圆弧趋于直线时，CS和CE趋于平衡，并且∠ACS和∠ACE都趋于90度，所以此时有eα→-π/2，sα→-π/2。
然后我们把R也换成α的表达式，特殊位置下，R跟α的关系是
其中，α为∠SCE的大小，它等于eα-sα。
在接下来的演算中，我会根据需要让eα，sα不断切换，并且趋于直线的时候有α→0。
然后，eα+sα趋于-π，在不导致结果为0的时候可以直接用-π代替eα+sα。
现在我们就把上面的式子搬过来取极限吧！过程有点痛苦，大家要做好心理准备哦~
这看着要写得很长，所以我把中括号的3个项分开写。
第一项：
第二项：
第三项：
总结起来，3项的计算结果分别为
然后第二项为负值，于是代入到前面的积分式后结果如下
然后把cy在特殊位置下的式子搬过来并代入上式
由于p-p=0已经不是不定式，它是绝对等于0的，所以哪怕csc(α/2)趋于无穷大，整个极限都是等于0了。
这个结果跟动图上显示的蓝色块面积趋于0的效果完全吻合。但是这个0的位置太特殊了，所以心里不太踏实，想把一般情况也代入进去看看，但这篇已经写长了。为了不至于大家看晕，我打算放到下篇继续。
iloveas2014
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标签：直线,21,积分,趋于,然后,代入,圆弧 来源： https://blog.csdn.net/iloveas2014/article/details/104099551