斐波那契F(n+1)*F(n-1) - F(n^2) =(-1)^n的证明

证法一：

令 $A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$A=21+5​​,$B=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$B=21−5​​

由斐波那契数列的通项公式$F(n)=\frac{A^n+B^n}{\sqrt{5}}$F(n)=5​An+Bn​可得

$F(n+1)F(n-1)= \frac{1}{5}(A^{n+1}+B^{n+1})(A^{n-1}+B^{n-1})$F(n+1)F(n−1)=51​(An+1+Bn+1)(An−1+Bn−1)

$F(n)^2=\frac{1}{5}(A^n+B^n)^2$F(n)2=51​(An+Bn)2

证明：

$F(n+1)F(n-1)-F(n)^2$F(n+1)F(n−1)−F(n)2

$=-\frac{1}{5}(2A^nB^n-A^{n+1}B^{n-1}-A^{n-1}B^{n+1})$=−51​(2AnBn−An+1Bn−1−An−1Bn+1)

$=-\frac{1}{5}[A^nB^{n-1}(B-A)-A^{n-1}B^n(A-B)]$=−51​[AnBn−1(B−A)−An−1Bn(A−B)]

$=\frac{1}{5}(A-B)(A^nB^{n-1}+A^nB^n)$=51​(A−B)(AnBn−1+AnBn)

$=\frac{1}{5}(A+B)(A-B)A^{n-1}B^{n-1}$=51​(A+B)(A−B)An−1Bn−1

$=\frac{1}{5}*1*(-1)*(\frac{(1-\sqrt{5})*(1+\sqrt{5})}{2*2})^{n-1}$=51​∗1∗(−1)∗(2∗2(1−5​)∗(1+5​)​)n−1

$=(-1)*(-1)^{n-1}$=(−1)∗(−1)n−1

$=(-1)^n$=(−1)n

证法二：

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标签：frac,AnBn,Bn,51,证明,斐波,15,那契,1Bn
来源： https://blog.csdn.net/qq_43134194/article/details/104056662