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14-正交向量与子空间

作者:互联网

一、正交向量

 一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交

 “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT教授如是说 

 

 我们都知道,如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:$x^{T} y=0$,注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:$y^{T} x=0$

 两个向量正交,可以表示为下图:

 

 

 由勾股定理可知:$\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}$,将上式展开得:

$\begin{aligned} x^{T} x+y^{T} y &=(x+y)^{T}(x+y) \\ &=x^{T} x+y^{T} y+x^{T} y+y^{T} x \end{aligned}$

所以:$0=x^{T} y+y^{T} x \rightarrow x^{T} y=y^{T} x=0$

 举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:

$x=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {3}\end{array}\right], y=\left[\begin{array}{c}{2} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right], z=x+y=\left[\begin{array}{l}{3} \\ {1} \\ {3}\end{array}\right]$

 其中:其中x,y满足下式:

$x^{T} y=y^{T} x=0$

 则向量的长度(即向量的2范数)为:

$\|x\|^{2}=14,\|y\|^{2}=5,\|z\|^{2}=19$

 

二、正交子空间

 定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。

 行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。

 我们解释一下行空间和零空间正交:行空间为矩阵各行的线性组合,矩阵各行与零空间中的任意向量相乘==0,也就是说行空间中任意向量与零空间中任意向量相乘结果为0

标签:end,14,正交,空间,与子,array,向量,零空间
来源: https://www.cnblogs.com/always-fight/p/12187645.html