【期望】学习笔记
作者：互联网
做不会概率题，但规律还是要一点一点总结的。
做了两道题，做法都有点像。
题目大意：一个长度为n+1的棋盘，从0到n。现在有一颗棋子在位置m，想要把棋子移到位置0。每一次移动，除了n点以外，每个位置有概率p向0点方向移动1格，概率(1-p)向n点方向移动1格，在n点位置就 只能向0点方向移动，询问从m点移动到0点的期望移动次数。
n<=1e6， 答案对1e9+7取模。 概率p以最简分数给出。
题解的做法是推出公式。然后其中有一个比较重要的也常用的：
设E(x)为在位置x移动到0的期望次数，则：E(x)=pE(x-1)+(1-p)E(x+1)+1;
因为：在E(x)有概率p变成E(x-1)，有概率(1-p)变成E(x+1)，所以E(x)的值是 p概率下E(x-1)的值 加上 (1-p)概率下E(x+1)的值，还要加上本身移动的次数是1。
在知道这个公式后，距离答案就是一些神奇的转换了。 但是我连这个公式都不会。
然后
题目大意：有n种邮票，每次买1张，买到的邮票的种类是等概率1/n，购买第k次需要的付出的价值是k，问买到n种邮票时期望付出的价值。n<=10000，保留小数点后2位输出答案。
题解是递推，有类似的公式：
设Ef(x)为当前买了x种邮票，还需要购买邮票的期望张数。则：Ef(x)=x/n*Ef(x)+(n-x)/n*Ef(x+1)+1;
因为：在Ef(x)有概率x/n买到之前买过的邮票(n张中有x张买过了)，即是，有概率x/n变成Ef(x)；有概率(n-x)/n买到之前没买过的邮票，即是，有概率(n-x)/n变成Ef(x+1)；然后是本身购买次数是1。
所以 化简一下 有：Ef(x)=Ef(x+1)+n/(n-x);
设Eg(x)为当前买了x种邮票，还需要购买邮票的期望价格。则：Eg(x)=x/n*( Eg(x)+Ef(x)+1 )+(n-x)/n*( Eg(x+1)+Ef(x+1)+1 )
这个我有点难理解。
大概是： 在Eg(x)有x/n的概率买到买过的邮票，所以之后购买的价格都因为这次操作加1 所以 原状态的费用叠加Ef(x) 再加上本身(当前，不计前面..?)费用1， 就是x/n*( Eg(x)+Ef(x)+1 )；
在Eg(x)有(n-x)/n的概率买到没买过的邮票，所以同理 是(n-x)/n*(Eg(x+1)+Ef(x+1)+1)。
化简有：Eg(x)=x/(n-x)*Ef(x)+Eg(x+1)+Ef(x+1)+n/(n-x)。
然后就是for循环递推到Eg(0)即为答案。
标签：邮票,买到,概率,期望,Eg,Ef,笔记,学习,移动 来源： https://www.cnblogs.com/kkkek/p/11985947.html