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【UR #6】懒癌

2019-11-04 19:01:55 作者：互联网

完全图的情况

第一天，所有人看一下有没有得懒癌的狗。如果没有，则自己的得了懒癌，开枪。

如果第一天没有人开枪，则至少有两只得懒癌的狗。第二天如果有人只看到一只得懒癌的狗，则自己的狗一定得了懒癌，开枪。

以此类推，如果第 $k$ 天有人开枪，一定同时开 $k$ 枪，总共有恰好 $k$ 条得懒癌的狗。

状压DP

设 $dp_U$ 表示懒癌狗的集合为 $U$ 时开枪时间。

对于所有 $x \in U$ 的人，它会考虑，如果 $x$ 狗没有得懒癌，设集合 $V$ 为满足以下条件的集合：

$ x \notin V$
若 $x$ 可以看出 $y$ 有没有得懒癌，则 $y \in V$ 当且仅当 $y$ 得懒癌
若 $x$ 看不出 $y$ 有没有得懒癌， $y$ 可以在 $V$ 中也可以不在 $V$ 中

那么他应当在 $\max\{ dp_V\}$ 天之前听到枪声。否则，他会在 $\max\{DP_V\} + 1$ 天枪杀自己的狗。

因此 $DP_U = \min_x\{ \max\{dp_V + 1\}\}$

需要注意的时，转移可能会成环，环中的状态永远不会开枪。

算多少只狗被杀死只需要求有多少个 $x$ 满足 $\max\{DP_V\} + 1 = DP_U$ 即可。

这样的复杂度是 $O(4^n n)$

事实上，一个人可以认为自己看不出是不是懒癌的狗得了懒癌。这样转移就只需要枚举一个集合 $V$，复杂度优化到 $O(2^nn)$

正解

考虑建一张新图：如果 $u$ 不知道 $v$ 有没有得懒癌，由 $u$ 指一边向 $v$。

在这张新图上考虑上面的那个 dp。计算 $DP_U$ 的时候，我们将所有 $x \in U$ 的节点染黑，所有可以转移到 $U$ 的集合 $V$ 是将 $U$ 中一个点染白，然后染黑其出边所得到的黑点集合。

如果 $U$ 中的点能到达环， $DP_U = +\infty$。

所以所有能到达环的节点必须不得懒癌。把这些点删掉，得到一张 $DAG$。

我们发现 $DP_U$ 的值就可以直接计算了。因为那个转移方程就相当于，每次可以选择将一个黑点染白，然后染黑其所有出边，直到所有点都为白色所需的最小步数，这显然是 $U$ 的后继节点个数。

而死的狗的数目，就是要使染色步数最小，第一次染色可以选择的黑点数目，这就是没有前驱黑点的黑点数目。

只需要用 bitset 算出每个点可以被多少个点到达即可。

代码实现上，拓扑排序可以用点的入度来做，这样就不会算到能到达环的点了。

总复杂度 $O(\frac{n^3}{\omega})$

#pragma GCC optimize("2,Ofast,inline")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e3 + 10;
const int mod = 998244353;

inline void upd(int &x, int y) {
    (x += y) >= mod ? x -= mod : 0;
}

int n;
int deg[N], pw[N], a[N][N];
int tot, q[N];
char s[N];
bitset<N> dp[N];

int main() {
    pw[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; ++i) pw[i] = pw[i - 1] * 2 % mod;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%s", s + 1);
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (i == j) continue;
            a[i][j] = (s[j] == '1');
            if (!a[i][j]) ++deg[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (deg[i] == 0) q[++tot] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (q[i] != j && !a[j][q[i]] && --deg[j] == 0) {
                q[++tot] = j;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
        dp[q[i]][q[i]] = 1;
    }
    for (int i = tot; i >= 1; --i) {
        for (int j = 1; j <= tot; ++j) {
            if (i != j && !a[q[i]][q[j]]) dp[q[j]] |= dp[q[i]];
        }
    }
    int ans1 = 0, ans2 = 0;
    for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
        int t = dp[q[i]].count();
        upd(ans1, 1LL * (pw[t] - 1) * pw[tot - t] % mod);
        upd(ans2, pw[tot - t]);
    }
    printf("%d %d\n", ans1, ans2);
    return 0;
}

标签：int,UR,开枪,DP,懒癌,dp,mod
来源： https://www.cnblogs.com/Vexoben/p/11794003.html