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模拟测试60

作者:互联网

T1:

  约瑟夫问题。

  经证(da)明(biao)可知,最终答案计算方法是:

    答案由$1$开始,每次加$m$,若大于次数加一,就对次数加一取模。

  可以$O(1)$计算每次取模的位置,取模不超过$mlogn$次,于是时间复杂度为$O(mlogn)$。

T2:

  普及:向量叉积:$v_1=(x_1,y_1),v_2=(x_2,y_2) \Rightarrow \vec{v_1}\times \vec{v_2}=x_1*y_2-x_2*y_1$

  然而我只会拆平方干推式子:

    $\large \begin{array}{ll} ans &=& \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=i+1}^r (v_i \times v_j)^2 \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=i+1}^r (x_iy_j-x_jy_i)^2 \end{array}$

  考虑拆平方:

    $\large \begin{array}{ll} ans &=& \sum \limits_{i=l}^{r} \sum \limits_{j=i+1}^r (x_i^2y_j^2+x_j^2y_i^2-2x_iy_ix_jy_j) \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=i+1}^r x_i^2y_j^2 + \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=i+1}^r x_j^2y_i^2 - \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=i+1}^r 2x_iy_ix_jy_j \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=l}^r [i!=j]*x_i^2y_j^2 - \sum \limits_{i=l}^r \sum \limits_{j=l}^r [i!=j]*x_iy_ix_jy_j \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r x_i^2 (\sum \limits_{j=l}^r y_j^2 -y_i^2) - (\sum \limits_{i=l}^r x_iy_i (\sum \limits_{j=l}^r x_jy_j - x_iy_i)) \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r x_i^2 \sum \limits_{j=l}^r y_j^2 - \sum \limits_{i=l}^r x_i^2y_i^2 - (\sum \limits_{i=l}^r x_iy_i \sum \limits_{j=l}^r x_jy_j - \sum \limits_{i=l}^r x_i^2 y_i^2) \\ &=& \sum \limits_{i=l}^r x_i^2* \sum \limits_{i=l}^ry_i^2 - (\sum \limits_{i=l}^r x_iy_i)^2\end{array}$

  线段树中维护$\sum \limits_{i=l}^r x_i^2$,$\sum \limits_{i=l}^r y_i^2$和$\sum \limits_{i=l}^r x_iy_i$即可。

  时间复杂度$O((n+m)logn)$。

T3:

  经典的LCIS(最长公共上升子序列)问题。

  设$dp[i][j]$为第一个串考虑到第$i$位,第二个串选择第$j$位的最优答案。

  则有状态转移方程:
    $dp[i][j]=\max \limits_{k<j}^{b_k<a_j}\{dp[i-1][k]\}+1$

  我们发现第二维只能从小向大转移,所以从小到大枚举,同时更新当前最优答案,直接更新即可。

  至于方案,记录转移前驱即可。

  时间复杂度$O(nm)$。

标签:iy,jy,limits,sum,2y,60,测试,array,模拟
来源: https://www.cnblogs.com/hz-Rockstar/p/11625014.html