文章目录

• 基础知识
• 二次型化标准型、规范型
• 218【不用真的化成规范型】
• 221【用对角阵来计算矩阵多项式】
• 222（打星）【求二次型的值】
• 225【一般正交变换】
• 合同
• 合同的基本知识
• 226
• 228（打星）【坑大林】
• 正定
• 正定的充要条件
• 正定的必要条件
• 233【证明题】
• 234（打星）【证明题】【结论题】

基础知识

标准型：就是只有平方项
规范型：不仅只有平方项，而且平方项的系数只能是正负1
正惯性指数$p$p：平方项系数是正数的个数
正惯性指数$q$q：平方项系数是负数数的个数

二次型化标准型、规范型

218【不用真的化成规范型】

$二次型f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}的规范型是（）$二次型f(x1​,x2​,x3​)=x12​+4x22​+4x32​−4x1​x2​+4x1​x3​−8x2​x3​的规范型是（）
（A）$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$z12​+z22​+z32​

（B）$z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}$z12​−z22​−z32​

（C）$z_1^2-z_2^2$z12​−z22​

（D）$z_1^2$z12​
法①：观察出阔以配方$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-2x_2+2x_3)^2$f(x1​,x2​,x3​)=(x1​−2x2​+2x3​)2，这样直接就知道$p=1,q=0$p=1,q=0了，就选D
法②：这个是通用的办法，本来是应该化成对角矩阵，但是对角矩阵的主对角线就是特征值，因此只用求出特征值就能知道$p,q$p,q了
$|\lambda E-A|=\lambda^2(\lambda-9)$∣λE−A∣=λ2(λ−9)
$\lambda_1=9,\lambda_2=\lambda_3=0,p,q就知道了$λ1​=9,λ2​=λ3​=0,p,q就知道了

221【用对角阵来计算矩阵多项式】

$设A\sim \Lambda=\begin{bmatrix} 1& & \\ & 2& \\ & &3 \end{bmatrix},f(x)=x^3-6x^2+11x-5,求f(A)$设A∼Λ=⎣⎡​1​2​3​⎦⎤​,f(x)=x3−6x2+11x−5,求f(A)
没反应过来，以前计算矩阵的次幂也阔以借助对角阵来算得哇~
设$A=P\Lambda P^{-1}$A=PΛP−1
$f(A)=A^3-6A^2+11A-5E=P\Lambda^3 P^{-1}+6P\Lambda^2 P^{-1}+11P\Lambda P^{-1}+5E=P(\Lambda^3-6\Lambda^2+11\Lambda-5E) P^{-1}=PE P^{-1}=E$f(A)=A3−6A2+11A−5E=PΛ3P−1+6PΛ2P−1+11PΛP−1+5E=P(Λ3−6Λ2+11Λ−5E)P−1=PEP−1=E

222（打星）【求二次型的值】

$A是3阶实对称矩阵,\lambda=5是A的二重特征值,对应的特征向量为\xi_1=[1,-1,2]^T,\xi_2=[1,2,1]^T,则二次型f(1,5,0)=多少？$A是3阶实对称矩阵,λ=5是A的二重特征值,对应的特征向量为ξ1​=[1,−1,2]T,ξ2​=[1,2,1]T,则二次型f(1,5,0)=多少？
我本来还以为是像以前那样把$A$A矩阵求出来呢，结果发现，虽然能够求到$\xi_3$ξ3​，但是没有$\lambda_3$λ3​得哇，因此就求不到$A$A矩阵

而换个思路,通过观察法或者设方程求解，阔以发现$X_0$X0​是能被特征向量线性表示的，$[1,5,0]^T=-\xi_1+2\xi_2$[1,5,0]T=−ξ1​+2ξ2​

$f(x_0)=X_0^TAX_0=[-\xi_1+2\xi_2]^TA[-\xi_1+2\xi_2]=[-\xi_1^T+2\xi_2^T][-5\xi_1+2\cdot5\xi_2]=5\xi_1^T\xi_1+-10\xi_1^T\xi_2-10\xi_2^T\xi_1+20\xi_2^T\xi_2=130$f(x0​)=X0T​AX0​=[−ξ1​+2ξ2​]TA[−ξ1​+2ξ2​]=[−ξ1T​+2ξ2T​][−5ξ1​+2⋅5ξ2​]=5ξ1T​ξ1​+−10ξ1T​ξ2​−10ξ2T​ξ1​+20ξ2T​ξ2​=130

225【一般正交变换】

$f(x,y)=x^2+4xy+y^2,求正交变换\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=P\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}中的P,使得f(x,y)=2u^2+2\sqrt{3}uv$f(x,y)=x2+4xy+y2,求正交变换[xy​]=P[uv​]中的P,使得f(x,y)=2u2+23​uv
一般的题正交变换后都是只有平方项，相当于求个对角阵的套路，但是这道题相当于是从一个矩阵变成另外一个相似矩阵，是我做的话就是都往对角阵变，就要求两个矩阵$P_1,P_2$P1​,P2​很麻烦

结果一看答案还真就是这样做的
$P_1^{-1}AP_1=\Lambda=P_2^{-1}BP_2\Rightarrow P=P_1P_2^{-1}$P1−1​AP1​=Λ=P2−1​BP2​⇒P=P1​P2−1​

同样也是，因为特征向量之间是正交的，单位化后就是正交矩阵了，$P_1P_2^{-1}=P_1P_2^T$P1​P2−1​=P1​P2T​,，用这个简化求逆矩阵

合同

合同的基本知识

合同：$A与B合同:C^TAC=B,C可逆$A与B合同:CTAC=B,C可逆，记作：$A\underline{\sim}B$A∼​B

$A\underline{\sim}B$A∼​B的充要条件：
$\Leftrightarrow A,B的正负惯性指数相同$⇔A,B的正负惯性指数相同

226

$f(x_1,x_2,...,x_n)的秩为r,符号差为s,且f和-f对应的矩阵合同,则必有$f(x1​,x2​,...,xn​)的秩为r,符号差为s,且f和−f对应的矩阵合同,则必有
（A）$r是偶数,s=1$r是偶数,s=1
（B）$r是奇数,s=1$r是奇数,s=1
（C）$r是偶数,s=0$r是偶数,s=0
（D）$r是奇数,s=0$r是奇数,s=0

矩阵$f$f的正惯性指数为$p$p，负惯性指数为$q$q
而矩阵$-f$−f的正惯性指数就应该为$q$q，负惯性指数应该为$p$p
然后两个还相等$\Rightarrow p=q$⇒p=q
而秩是等于正负惯性指数相加的，所以肯定是偶数，所以选（C）

228（打星）【坑大林】

$设A,B都是n阶可逆矩阵,则存在n阶可逆矩阵P使得下列成立的有几个：①PA=B,②P^{-1}ABP=BA,③P^{-1}AP=B,④P^TA^2P=B^2$设A,B都是n阶可逆矩阵,则存在n阶可逆矩阵P使得下列成立的有几个：①PA=B,②P−1ABP=BA,③P−1AP=B,④PTA2P=B2
卧槽，我本来只想选③④的，看了答案后确实①是对滴，结果答案竟然选①②④，竟然③是错的，②竟然是对的。。。

①：一看答案就能反应过来的：因为都可逆嘛，所以都能通过行变换变成单位矩阵$E$E，于是有$P_1A=E=P_2B$P1​A=E=P2​B，那么这个$P$P矩阵就是$P=P_2^{-1}P_1$P=P2−1​P1​
②：这个感觉长得奇奇怪怪的竟然是对的，取$P=A$P=A就成立了
③：这个把我坑到了，没说$A,B$A,B是相似的，所以就不一定成立
④：平方之后两个可逆矩阵的正惯性指数都是$n$n，负惯性指数都是$0$0，因此矩阵是合同的
由此阔以得到同阶可逆矩阵的结论：
$(1):两个同阶可逆矩阵一定是等价的$(1):两个同阶可逆矩阵一定是等价的
$(2):两个同阶可逆矩阵的乘积一定是相似的P^{-1}(AB)P=(BA)$(2):两个同阶可逆矩阵的乘积一定是相似的P−1(AB)P=(BA)
$(3):两个同阶可逆矩阵的平方一定是合同的P^TA^2P=B^2$(3):两个同阶可逆矩阵的平方一定是合同的PTA2P=B2

正定

正定的充要条件

$X^TAX$XTAX正定$\Leftrightarrow A的顺序主子式全大于0$⇔A的顺序主子式全大于0
②：$X^TAX$XTAX正定$\Rightarrow a_{ii}>0,相当于正惯性指数p=n$⇒aii​>0,相当于正惯性指数p=n

正定的必要条件

①：$X^TAX$XTAX正定$\Rightarrow tr(A)>0$⇒tr(A)>0

233【证明题】

$A为n阶对称矩阵,B为m\times n矩阵,证明:B^TAB为正定矩阵的充要条件是r(B)=n$A为n阶对称矩阵,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是r(B)=n
$B^TAB正定\Leftrightarrow \forall X不等于0,有X^TB^TABX>0\Leftrightarrow (BX)^TA(BX)>0,而A正定\Leftrightarrow BX不等于0\Leftrightarrow r(B)=n$BTAB正定⇔∀X不等于0,有XTBTABX>0⇔(BX)TA(BX)>0,而A正定⇔BX不等于0⇔r(B)=n

234（打星）【证明题】【结论题】

$正交矩阵A,B有|A|+|B|=0,证明:A+B不可逆$正交矩阵A,B有∣A∣+∣B∣=0,证明:A+B不可逆

$\because 正交矩阵的行列式为\pm1,且|A|+|B|=0$∵正交矩阵的行列式为±1,且∣A∣+∣B∣=0
$\therefore |A||B|=-1\Rightarrow |A^T||B^T|=-1$∴∣A∣∣B∣=−1⇒∣AT∣∣BT∣=−1

$-1\cdot|A+B|=|A^T||B^T|\cdot|A+B|=|A^T||A+B||B^T|=|A^T(A+B)B^T|=|A+B|$−1⋅∣A+B∣=∣AT∣∣BT∣⋅∣A+B∣=∣AT∣∣A+B∣∣BT∣=∣AT(A+B)BT∣=∣A+B∣

$\therefore -|A+B|=|A+B|\Rightarrow |A+B|=0$∴−∣A+B∣=∣A+B∣⇒∣A+B∣=0
所以不可逆

标签：xi,张宇,可逆,矩阵,好题,同阶,正定,2020,BA
来源： https://blog.csdn.net/SwustLpf/article/details/101195258