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8.14 数论 - 扩展欧几里得定理 与 同余方程

作者:互联网

扩展欧几里得定理用于解方程 ax + by = gcd(a,b)

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

证明见:https://oi-wiki.org/math/gcd/

通过欧几里得定理构造等价的方程,进行递归求解;

 

线性同余方程:

形如 ax ≡ c(mod b)的方程;

1. 等价: 等价于 ax + by = c ,两边同时取余就一样了

2. 判定条件:exgcd 可求 ax + by = gcd(a,b)的解 ,所以c是gcd(a,b)的整数倍时,时方程ax + by = c 有解

3. 通解: 求解后可根据原方程构造通解: x + k*b/gcd ,y - k*a/gcd

4.最小正整数解: 根据通解的形式 ,可得x的最小正整数解为 (x%t + t)%t ,t = b/gcd;

int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}
bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}

 

标签:方程,return,gcd,int,欧几里得,ex,ax,8.14,同余
来源: https://www.cnblogs.com/-ifrush/p/11350165.html