Pollard_Rho 整数分解法
作者：互联网
如果要对比较大的整数分解，显然之前所学的筛选法和是试除法都将不再适用。所以我们需要学习速度更快的Pollard_Rho算法
pollard_rho 算法流程
Pollard_rho算法的大致流程是 先判断当前数是否是素数（Miller_rabin）了，如果是则直接返回。如果不是素数的话，试图找到当前数的一个因子（可以不是质因子）。然后递归对该因子和约去这个因子的另一个因子进行分解。
那么自然的疑问就是，怎么找到当前数n的一个因子？当然不是一个一个慢慢试验，而是一种神奇的想法。其实这个找因子的过程我理解的不是非常透彻，感觉还是有一点儿试的意味，但不是盲目的枚举，而是一种随机化算法。我们假设要找的因子为p，他是随机取一个x1，由x1构造x2，使得｛p可以整除x1-x2 && x1-x2不能整除n｝则p=gcd（x1-x2，n），结果可能是1也可能不是1。如果不是1就找寻成功了一个因子，返回因子；如果是1就寻找失败，那么我们就要不断调整x2，具体的办法通常是x2=x2*x2+c（c是自己定的）直到出现x2出现了循环==x1了表示x1选取失败重新选取x1重复上述过程
通过这个方式，我们只需要知道x1和c就可以生成一系列数值，c可以取任意给定值，一般取c=1。
若序列出现循环，则退出。
计算p=gcd(xi-1-xi, n)， 若p=1，返回上一步，直到p>1为止；若p=n，则n为素数，否则p为一个约数并递归分解p和n/p。
1 #include <iostream>
2 #include <time.h>
3 #include <algorithm>
4 #include <stdio.h>
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6 typedef long long LL;
7
8 using namespace std;
9
10 const int times = 20;
11 LL fac[1001];
12 int cnt;
13
14 LL mul(LL a,LL b,LL mod){
15 LL ans = 0;
16 while (b){
17 if (b & 1){
18 ans = (ans + a) % mod;
19 }
20 a = (a<<1) % mod;
21 b >>= 1;
22 }
23 return ans;
24 }
25
26
27 LL pow(LL a,LL b,LL mod){
28 LL ans = 1;
29 while (b){
30 if (b & 1){
31 ans = mul(ans,a,mod);
32 }
33 b >>= 1;
34 a = mul(a,a,mod);
35 }
36 return ans;
37 }
38
39
40 bool witness(LL a,LL n){
41 LL temp = n - 1;
42 int j = 0;
43 while (temp % 2 == 0){ // 其实就是得到 m
44 j++;
45 temp /= 2;
46 }
47 LL x = pow(a,temp,n);
48 if (x == 1 || x == n-1){ // 判断a^m
49 return true;
50 }
51 while (j--){
52 x = mul(x,x,n); // 进一步判断 a^(2m) a^(4m) ...
53 if (x == n-1)
54 return true;
55 }
56 return false;
57 }
58
59 bool miller_rabin(LL n){
60 if (n == 2){ // 如果是2肯定是素数
61 return true;
62 }
63 if (n<2 || n % 2 == 0){ //如果小于2或者是大于2的偶数肯定不是素数
64 return false;
65 }
66 for (int i=0;i<times;i++){ //随机化检验
67 LL a = rand() % (n-1) + 1;
68 if (!witness(a,n))
69 return false;
70 }
71 return true;
72 }
73
74 LL gcd(LL a,LL b){ // 这里的gcd和一般的gcd不一样
75 if (a == 0){ // pollard_rho的需要
76 return 1;
77 }
78 if (a < 0){ // 可能有负数
79 return gcd(-a,b);
80 }
81 while (b){
82 LL t = a % b;
83 a = b;
84 b = t;
85 }
86 return a;
87 }
88
89 LL pollard_rho(LL n,LL c){ // 找因子
90 LL i = 1,k = 2; // 用来判断是否成环
91 LL xx = rand() % n,y = xx;
92 while (1){
93 i++;
94 xx = (mul(xx,xx,n) + c) % n;
95 LL d = gcd(y-xx,n);
96 if (1<d && d<n){ // 找到一个因数
97 return d;
98 }
99 if (y == xx){ // 出现循环，那么查找失败
100 return n;
101 }
102 if (i == k){ // 相当一个优化？
103 y = xx;
104 k <<= 1;
105 }
106 }
107 }
108
109 void find(LL n){ // 通过因数来找质因子
110 if (miller_rabin(n)){
111 fac[cnt++] = n; // 记录质因子
112 return ;
113 }
114 LL p = n;
115 while (p >= n)
116 p = pollard_rho(p,rand() % (n-1) + 1); //如果转了一圈还是p那么继续
117 find(p);
118 find(n/p);
119 }
120
121 int main(){
122 srand(time(NULL));
123 int t;
124 scanf("%d",&t);
125 while (t--){
126 LL x;
127 scanf("%lld",&x);
128 if (miller_rabin(x)){
129 printf("Prime\n");
130 continue;
131 }
132 cnt = 0;
133 find(x);
134 LL ans = fac[0];
135 for (int i=1;i<cnt;i++){
136 if (fac[i]<ans)
137 ans = fac[i];
138 }
139 printf("%lld\n",ans);
140 }
141 return 0;
142 }
标签：return,LL,整数,Pollard,因子,Rho,ans,x2,x1 来源： https://www.cnblogs.com/-Ackerman/p/11354920.html