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让你秒懂的快速幂入门教程

作者:互联网

让你秒懂的快速幂入门教程

我们先来看一个例子:如何计算\(2^8\)?
首先,你会想到直接把\(8\)个\(2\)乘起来,像这样:
\[ \begin{aligned} 2*2&=4 \\ 4*2&=8 \\ 8*2&=16 \\ 16*2&=32 \\ 32*2&=64 \\ 64*2&=128 \\ 128*2&=256 \end{aligned} \]
这样需要做7次乘法运算。有没有更快的做法呢?其实还可以这样:
\[ 2^2=4 \\ 4^2=16=(2^2)^2=2^{2*2}=2^4 \\ 16^2=256=(2^4)^2=2^{2*2*2}=2^8 \]
上面的过程可以形象地理解为:

这样只需要做3次乘法运算,就能算出\(2^8\)的值!
上面这个例子揭示了快速幂算法的核心思想。即,要运算一个数\(a\)的\(2^n\)次方,可以将其自乘\(n\)次,每次指数都会翻倍,这样能够快速算得\(a^{2^n}\)的值。用c++写起来就是这样:

int a=2,n=8;
n=log2(n); //log2()函数定义中头文件<cmath>中,表示以2为底取对数
for(int i=1;i<=n;++i){
    a=a*a;
}

那你可能想问了,如果幂指数不是\(2\)的整数次方,该如何计算呢?以\(2^7\)为例:

我们只要把指数\(7\)化为几个\(2\)的整数次方之和(\(2^2+2^1+2^0\)),再将对应的\(2^{2^2},2^{2^1},2^{2^0}\)乘起来,就能得到\(2^7\)。
看到这里,机智的你可能发现了什么:把一个十进制数化为几个2的整数次方之和,这不就是进制转换的过程吗?
\[ (7)_{10}=(111)_{2} \\ 7=2^2+2^1+2^0 \]
二进制,正是计算机最擅长的东西。c++中有&和>>运算符,是针对二进制数进行运算的。
a&b得到a与b按位与的结果,如果将一个数&1,由于1除了末位其余位都是0,与的结果也是0,那么只需考虑末位,如果这个数的末位为1,得到的就是1;如果这个数末位是0,得到的就是0。我们可以用这个方法来判断一个数的二进制末位是否为1。
a>>b得到将数a的二进制都向右移动b位。可以类比十进制,向右移动一位(也就是小数点向左移动一位)表示将这个数除10,二进制中右移一位就是除2。

int quick_power(int a,int n){
    int ans=1;  //ans要初始化为1
    while(n){   //当n不为0时继续进行快速幂
        if(n&1){    //若n的二进制末位为1则返回真
            //如果n的二进制数第i位为1,说明将幂指数n分解之后会包含2^i
            //因此需要将当前计算的a^(2^i)乘进答案
            ans=ans*a;
        }
        n>>=1; //表示将二进制数n左移一位,舍弃最低位
        a=a*a; //计算a^(2^i)
    }
    return ans;
}

标签:16,二进制,入门教程,末位,int,ans,次方,快速
来源: https://www.cnblogs.com/1024th/p/11203562.html