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POJ2942Knights of the round table

作者:互联网

这题第一次做的人一般是颓题解的。

首先我们转化一下问题,既然厌恶的人不能一起出席,是一种不传递关系,我们构建补图,这样补图的边表示两个骑士可以同时出席。

此时,由于只能有奇数个人参加,则我们要找出奇环,奇环内的人是可以同时参加的,而链上的是不可以的(想想为什么),而且根据题意,这样建图后的孤岛点是废的。所以缩vDcc(点双)的时候不用管他。为什么要缩点双呢?因为vDcc有这样一个性质:

只要一个vDcc中存在奇环,那么整个vDcc中的任意一点都至少在一个奇环中。

那么这样我们只要求出所有vDcc然后对每个vDcc跑染色法判定二分图就行了。这是因为一张无向图中有奇环,则它不是二分图,反之则有一张无向图是二分图则它不含奇环,这应该是一个充要条件。

所以总结一下流程:先建补图,然后tarjan求出所有vDcc,然后判断这个点双是否为二分图,若不是二分图,则这个vDcc里所有节点都可以参加。

上述流程的原因在上方有一些解释及定理。先给出实现,然后下方有些证明和染色法的微型解释。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
//#define db(x) cerr<<x<<"bug"<<endl
using namespace std;
struct EDGE{
    int ed,nex;
}edge[20000500];int num,first[2000];
int root,n,m,time_,top,vccnum,ans;
int dfn[2000],low[2000],sta[25000],bl[2000],col[2000];
vector<int>vcc[2000];
bool can[2000],a[1005][1005];
int read(){
    int sum=0,f=1;char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9'){
        if(x=='-') f=-1;
        x=getchar();
    }while(x>='0'&&x<='9'){
        sum=sum*10+x-'0';
        x=getchar();
    }return sum*f;
}
void init(){
    memset(first,0,sizeof(first));
    num=time_=top=vccnum=ans=0;
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(bl,0,sizeof(bl));
    for(int i=1;i<=n;i++) vcc[i].clear();
    memset(can,0,sizeof(can));
    memset(col,0,sizeof(col));
    memset(a,0,sizeof(a));
}
void add(int st,int ed){
    edge[++num].ed=ed;
    edge[num].nex=first[st];
    first[st]=num;
}
bool bfs(int st,const int bln){
    queue<int>q;
    col[st]=1;
    q.push(st);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=first[x];i;i=edge[i].nex){
            int y=edge[i].ed;
            if(bl[y]!=bln) continue;
            if(col[y]==col[x]) return 1;
            else if(col[y]==-1){
                col[y]=3-col[x];
                q.push(y);
            }
        }
    }return 0;
}
void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++time_;
    sta[++top]=x;
    for(int i=first[x];i;i=edge[i].nex){
        int y=edge[i].ed;
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if(low[y]>=dfn[x]){
                vcc[++vccnum].push_back(x);
                int p;
                do{
                    p=sta[top--];
                    vcc[vccnum].push_back(p);
                }while(p!=y);
            }
        }else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}
int main(){
    while(1){
        n=read();m=read();
        if(n==0&&m==0) return 0;
        init();
        for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
            x=read();y=read();
            a[x][y]=a[y][x]=1;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==j) continue;
                if(a[i][j]) continue;
                add(i,j);
            }
    //    db(1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!dfn[i]) tarjan(i);
    //    db(2);
        for(int i=1;i<=vccnum;i++){
            for(int j=0;j<vcc[i].size();j++)
                bl[vcc[i][j]]=i,col[vcc[i][j]]=-1;
            if(bfs(vcc[i][0],i))
                for(int j=0;j<vcc[i].size();j++)
                    can[vcc[i][j]]=1;
        }
    //    db(3);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!can[i]) ans++;
        printf("%d\n",ans);
    //    db(4);
    }return 0;
}
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证明:只要一个vDcc中存在奇环,那么整个vDcc中的任意一点都至少在一个奇环中。

首先,根据点双的含义,由于不存在割点,当存在一个奇环时,则任意一个点都可以有两条路径到达这个奇环上的两个点,从而将奇环分成两半,一半含奇数个点,另一半则含偶数个点。

而上述任意一点肯定跟着一条链(或者它自己连出两条边)接到这个环上(因为不这样会违背点双特性),当这个链上有偶数个节点时,可以和含奇数个点的半环构成奇环,若这个链上含有偶数个点,则可以和含奇数个点的半环构成奇环。

所以,该点一定位于奇环上。

那么,对所有点用同样的方式证明,可以得出上述结论。

证毕。

    原谅这张丑陋的图。

证明:一张无向图中有奇环,则它不是二分图,反之则有一张无向图是二分图则它不含奇环。

首先,当一张图是二分(部)图时,它的两部内部一定不连边,只有两部之间的边,若成奇环的话,我们假定这个环上的节点为顺次的x1,x2,x3,……x2k-1,不妨设x1位于左部,则x2位于右部,x3位于左部……x2k-1位于左部,然后与x1连边,不符合二分图的定义,所以一张二分图不含奇环。

同理,若图里含奇环,则无法构造出二分图,因为最终总会有一个点不能归属于任意一部。

证毕。

剩下的染色法又称黑白染色法。根据上述的二分图与奇环关系定理,我们尝试用黑白两种颜色标记图中的节点,当一个节点被染色后,与它相邻的节点则标记为相反颜色,若标记过程存在冲突,则说明奇环存在,这个可以自己画图去感受一下。

 

标签:二分,POJ2942Knights,int,vDcc,low,奇环,table,include,round
来源: https://www.cnblogs.com/Yu-shi/p/11203288.html