Leetcode: 求出两个整数的最大公约数

 

该算法用到了几个定理，如下：

辗转相除法

辗转相除法又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5,那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。

使用递归的方法来把问题逐步简化。

首先，我们先计算出a除以b的余数c，把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出b除以c的余数d，把问题转化成求出c和d的最大公约数；再然后计算出c除以d的余数e，把问题转化成求出d和e的最大公约数......

思考： 当两个整数较大，做a%b取模运算的性能会变差。

代码：

/**
 *  利用辗转相除法的递归方式求解
 * @param a
 * @param b
 * @return
 */
public static Integer getGreatestCommonDivsor(Integer a, Integer b) {
    int big = a > b ? a : b;
    int smaller = a < b ? a : b;
    if (big % smaller == 0) {
        return smaller;
    }
    return getGreatestCommonDivsor(big % smaller, smaller);
}
public static void main(String[] args) {

    Integer greatestCommonDivsor = getGreatestCommonDivsor(12, 8);
    System.out.println("两者的最大公约数为："+greatestCommonDivsor);
}

 

更相减损术

出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。

他的原理更加简单：

两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。

由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，我们先计算出a和b的差值c（假设a>b），把问题转化成求出b和c的最大公约数；然后计算出c和b的差值d（假设c>b），把问题转化成求出b和d的最大公约数；再然后计算出b和d的差值e（假设b>d），把问题转化成求出d和e的最大公约数......

以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的两个数。

代码如下：

 /**
     *  利用更相减损法的递归方式求解
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static Integer getGreatestCommonDivsor1(Integer a, Integer b) {
        int big = a > b ? a : b;
        int smaller = a < b ? a : b;
        if (big % smaller == 0) {
            return smaller;
        }
        return getGreatestCommonDivsor(big - smaller, smaller);
    }
    public static void main(String[] args) {
        // 更相减损法
        Integer result =  getGreatestCommonDivsor1(12, 8);
        System.out.println("两者的最大公约数为："+result);
    }

 

结合更相减损法以及辗转相除的最优算法

众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：

1. 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

1. 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

1. 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

1. 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

1. 整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数

1. 利用更相减损法，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数

1. 整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数

1. 整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数

1. 利用更相减损法，因为两数相等，所以最大公约数是5

在两数比较小的时候，暂时看不出计算次数的优势，当两数越大，计算次数的节省就越明显。

代码如下：

/**
     * 结合辗转相除法以及更相减损法的最优算法
     * 解法：
     * 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
     * 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
     * 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
     * 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static Integer getGreatestCommonDivsor2(Integer a, Integer b) {
        if (a == b) {
            return a;
        }
        // a&1 == 0说明整数a是偶数，否则为奇数
        if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
            // 当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
            return getGreatestCommonDivsor2(a >> 1, b >> 1) << 1;
        } else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {
            // 当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
            return getGreatestCommonDivsor2(a >> 1, b);
        } else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {
            // 当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
            return getGreatestCommonDivsor2(a, b >> 1);
        } else {
            // 当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
            int big = a > b ? a : b;
            int small = a < b ? a : b;
            return getGreatestCommonDivsor2(big - small, small);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 最优算法
        Integer result = getGreatestCommonDivsor2(12, 8);
        System.out.println("两者的最大公约数为：" + result);
    }

该题知识点参考《漫画算法》中的知识点

标签：10,gcb,return,整数,减损,最大公约数,Integer,Leetcode
来源： https://blog.csdn.net/weixin_38426554/article/details/95787416