数学传奇3——神话的破灭

如果要从人类漫长的历史星河中选出三位最伟大的数学家，那么卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）这个名字必然位列其中。作为近代数学的奠基者之一，高斯一生成就极为丰硕，以他的名字来命名的成果多达110个，属数学家中之最。

1777年4月30日，后来被称为“数学王子”的高斯出生在普鲁士地区的一个犹太家庭。作为举世公认的超世天才，关于他的睿智与聪颖，一直流传着一个故事。据说，高斯10岁时便曾利用很短的时间就计算出了小学老师提出的问题：自然数从1到100的求和。而他的天才正体现在他所使用的方法非常之巧妙：对50对构造成和101的数列求和（1＋100，2＋99，3＋98……），于是很容易得到最终的结果就是5050。

由于小高斯的聪慧远近闻名，卡尔·威廉·费迪南公爵也得知了这个天才儿童的事情，便从高斯14岁起开始资助其学习与生活。1795年，十八岁的高斯转入哥廷根大学深造学习。在高斯十九岁时，他仅使用直尺和圆规便构造出了正十七边形。从而为流传了两千年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。从此，高斯走上了数学研究的道路。他的研究几乎遍及数学的所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。

高斯的治学态度十分严谨，是一个典型的完美主义者。尽管其学术造诣极高，但却很少公开发表文章。终其一生，高斯也仅公开发表了155篇论文，他只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。在高斯看来，“建筑完成就要拆除脚手架。”这一点与欧拉截然相反，所以后人拜读高斯的文章只会为他的天才而感到惊讶，但却很难掌握他思想的来龙去脉。阿贝尔在谈及高斯的简洁的写作风格时曾表示“他就像狐狸用尾巴抹去它的踪迹”。

高斯对代数学的重要贡献之一就是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上，在高斯之前已有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人工作中的缺失一一指出，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

1806年，法兰西第一帝国皇帝拿破仑·波拿巴指挥的法军与第四次反法同盟爆发了激烈的交战，史称耶拿战役。就在这场抵抗法军的激战之中，卡尔·威廉·斐迪南公爵不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人怀有一种深深的敌意。尽管高斯居住的哥廷根和法国非常近，但高斯终身都没有踏足过法国一步。

天才总是孤独的。在高斯所处的时代，其思想要远远领先于众人，很难找到能与自己比肩和对话的人，所以高斯在性格上就变得更加孤傲与刻板。高斯的孤傲使其常常忽视其他年轻数学家的创造。阿贝尔就曾把自己那篇“一元五次方程没有代数一般解”的论文寄给高斯，希望得到这位数学大师的指导。孤傲的高斯却把信件当成废纸丢尽了垃圾桶。高斯甚至很少指导学生，尽管如此，他为数不多的学生中仍然涌现出了数位杰出的数学家，其中之一就是弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（Friedrich Bernhard Riemann）。

1855年，一代数学大师高斯在哥廷根与世长辞。比高斯小28岁的古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet）被选定作为高斯的继任到哥廷根大学任教。

现在我们通常都说高斯是一位德国数学家。但前面在谈及他的出生地时所使用的地名却是“普鲁士”。事实上，在历史上的很长一段时期内，德国并不是现在意义上的一个统一的国家。普鲁士作为一个历史地名，一般是指德意志的北部地区。德国分裂的局面使得经济发展趋于缓慢，经济水平又深层制约着数学等基础科学的发展。

除了像高斯这种傲世绝群的天才，早期的德国数学家中有很多都深受邻近的法国数学家之影响。像早期的莱布尼兹就曾借担任驻法外交官的机会师从法国科学院院士惠更斯，尽管惠更斯是荷兰人，但他曾长期在巴黎进行天文观测方面的研究。而狄利克雷则曾经是泊松和傅立叶的学生。狄利克雷是解析数论的奠基者，他还创立了现代函数的正式定义。他的首篇论文是费马大定理n=5的情况1，后来亦证明了n=14的情况。傅立叶曾声称：“一个变量的任意函数，不论是否连续或不连续，都可展开为正弦函数的级数，而这正弦函数的参数为变量的倍数”。但这个结果其实并不完美，他显然没有考虑傅立叶级数收敛的条件。狄利克雷最先给出，在有限制条件下，对于这结果满意的示范。

1859年狄利克雷去世后，由黎曼接替了他在哥廷根大学的教职。黎曼除了创立黎曼几何之外，他还是复变函数论创始人之一，对数学分析和微分几何都做出了重要贡献。黎曼曾经师从高斯和狄利克雷研究数学。在1854年的论文中，他定义了黎曼积分，给出了三角级数收敛的黎曼条件，从而指出积分论的方向，并奠定了解析数论的基础，提出了著名的“黎曼猜想”。他最初引入“黎曼曲面”概念，对近代拓扑学带了巨大影响。他继高斯之后，开辟了微分几何的新途径，创立了黎曼几何学，并定义了黎曼空间的曲率，使其在物理学中得到了广泛的应用。他在保角映射、椭圆函数论、多周期函数，以及偏微分方程等方面都做出了开创性的贡献。

总的来看，高斯自从十八岁到哥廷根大学深造，终其一生在这里生活、工作，以卓越的成就打破了莱布尼兹逝世后德国数学界长期的冷清局面，凭一人之力创造了德国数学的一个巅峰，同时也开创了哥廷根数学的传统。高斯无疑是哥廷根上空的一颗璀璨的明星，从高斯开始，哥廷根学派开始进入人们的视线。而狄利克雷和黎曼于高斯去世后在哥廷根继续和推进了他的数学事业，为后来哥廷根学派的崛起奠定了基础。但我们也不难看到，高斯本人并不喜欢教书，保守的个性也使他置身于一般的数学交往活动以外。虽然在高斯之后，哥廷根还有狄利克雷和黎曼，而且哥廷根的数学影响还在不断扩大，但其仍远离欧洲的学术中心。

形势的根本改变发生在19世纪七八十年代，彼时狄利克雷和黎曼均已离世。推动形势转变的两大诱因，一方面源于政治，另一方面才来自于德国数学家内部。

前面曾经讲过，高斯出生在普鲁士，也就是德意志北方的一片地区。1862年，俾斯麦出任普鲁士王国首相。在其领导下，经过艰苦卓绝的内政、军事和外交斗争，普鲁士于1864年联合奥地利击败丹麦，收回北方被丹麦占领的土地。此后，普鲁士又在1866年发动了普奥战争并取得胜利。1870年，俾斯麦又领导了普法战争，最终击败法军。

大家应该对都德的短篇小说《最后一课》还有印象，这篇小说就是从法国人的视角出发，描写普法战争后法国战败，原本教授法语的地区要改教德语的历史事件。普法战争后，德国收回了南部多个由法国统治的地区，并最终于1871年完成了德意志统一并建立了德意志帝国。德意志帝国建立后，俾斯麦于1871至1890年间出任宰相，人称“铁血宰相”。政治上的统一强劲地推进了德国经济腾飞。为赶超英法老牌资本主义国家，德国政府在国内大力实行鼓励科学发展的政策。

哥廷根学派之崛起的另外一个重要诱因来自于德国数学家内部，而更准确的说是来自两个关键人物——菲利克斯·克莱因（Felix Klein）和大卫·希尔伯特（David Hilbert）。

克莱因年轻的时候也曾渴望成就一番事业，成为世人瞩目、名载史册的数学大家。然而，生不逢时的是，同期法国出现了一位旷世奇才——儒勒·昂利·庞加莱（Jules Henri Poincaré），其光彩完全盖住了包括克莱因在内的同时代数学家。世所公认，庞加莱是十九世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后一人。阿达马评价庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

1886年，克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根，开始了他的数学家的生涯。论个体实力，彼时无人能与法国的庞加莱抗衡。就像高斯所在的时代，其他人相比于高斯的光彩而言都会显得暗淡。意识到这一点的克莱因设想如果不能靠一己之力与庞加莱抗衡，那么是否可以团结一帮人，用集体的力量来使哥廷根与庞加莱及其所代表的法国数学圈分庭抗礼呢？为此，克莱因第一个想到的人就是希尔伯特。希尔伯特之于数学界的凝聚力是无与伦比的。赫尔曼·韦尔（Hermann Weyl）在评论他时就曾说：“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”

大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862~1943）德国数学家，是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一。他提出了希尔伯特空间的理论，是泛函分析的基础之一。他热忱地支持康托的集合论与无限数。1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会提出了一系列的问题，即著名的希尔伯特之23个问题，为20世纪的许多数学研究指出了方向。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。值得一提的是希尔伯特问题中的第8题：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。尽管这三个猜想仍未彻底解决，但目前已经分别得到了比较重要的突破和被解决的弱化情况。其中关于哥德巴赫猜想之证明的最好成绩是由我国数学家陈景润于1973年发表的“1+2”。而关于孪生素数猜想的最新进展，则是2013年美籍华裔数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于7000万，这也是该问题的重大突破。

1895年，恰巧也就是高斯到达哥廷根后的第一百年，希尔伯特被克莱因请到了哥廷根。在他的招揽之下，众多数学大师云集哥廷根，这其中就包括赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）。闵可夫斯基出生于俄国的亚力克索塔斯（今立陶宛的考纳斯），他的父亲是一个成功的犹太商人。老闵可夫斯基共有三个儿子，而且兄弟三人都十分杰出。其中，闵可夫斯基的大哥继承父业成为优秀的商人。二哥奥斯卡·闵可夫斯基（Oscar Minkowski）是著名的生理学家和医学家。1889年奥斯卡·闵可夫斯基发现了胰腺中所含有的某种物质可以起到控制血糖的作用，因而建立了糖尿病和胰腺之间的关联。这个研究成果直接导致了后来胰岛素的发现，该任务最终由加拿大生理学家班廷（Frederick Grant Banting）与贝斯特（Charles Herbert Best）共同完成。1921年，班廷和贝斯特一同从动物胰腺中提得可供临床应用的胰岛素，为临床治疗糖尿病做出贡献，因此二人共同荣获了1923年的诺贝尔生理学或医学奖。后来奥斯卡的儿子，赫尔曼的侄子鲁道夫·闵可夫斯基还成为了美国著名的天文学家。

1872年，老闵可夫斯基带全家搬到普鲁士的哥尼斯堡（今俄罗斯的加里宁格勒）定居，与后来成为著名数学家的希尔伯特家仅一河之隔。哥尼斯堡也是著名的七桥问题的诞生地（该问题后来由大数学家欧拉所破解）。闵可夫斯基少年时期就在数学上表现出极高的天赋，被称为神童。闵可夫斯基曾在柏林大学求学，后来又进入哥尼斯堡大学学习。在哥尼斯堡大学，闵可夫斯基和希尔伯特重新相遇，并结为挚友。大学期间闵可夫斯基曾师从克罗内克和维尔斯特拉斯等数学名家。

1885年闵可夫斯基在哥尼斯堡大学获得博士学位。经过短暂的服兵役，1886年成为波恩大学的讲师。1891年闵可夫斯基升为副教授，1894年回到哥尼斯堡大学任教。1895年接替希尔伯特担任哥尼斯堡大学教授。而后，闵可夫斯基转到瑞士苏黎世联邦理工学院工作。这期间，青年时期的爱因斯坦在该校求学，成为闵可夫斯基的学生。1902年，闵可夫斯基受克莱因的邀请，转入哥廷根大学担任数学教授。直至1909年因急性阑尾炎去世。

闵可夫斯基工作的主要领域在数论、代数和数学物理方面。其中，在数学物理方面，闵可夫斯基在波恩大学任职时，曾协助著名物理学家赫兹研究电磁波。1907年，闵可夫斯基认识到可以用非欧空间来描述洛伦兹和爱因斯坦的工作，将过去被认为是独立的时间和空间结合到一个四维的时空结构中，即闵可夫斯基时空。据此，同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出。这些工作为广义相对论提供了框架。诺贝尔物理奖得主波恩曾说，他在闵科夫斯基的数学工作中找到了“相对论的整个武器库”。

在希尔伯特和克莱因二人的携手努力下，上个世纪初的三十多年间，哥廷根成为名副其实的国际数学中心，大批青年学者涌向哥廷根，不仅从德国、欧洲，而且来自亚洲，特别是美国。据统计，1862~1934年间获外国学位的美国数学家114人，其中34人是在哥廷根获博士学位的。这34人中就包括后来的美国数学会主席桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane），他在哥廷根时的博士生导师是赫尔曼·韦尔和保罗·伯尔内斯（Paul Bernays）。麦克莱恩对鼎盛时期的哥廷根推崇备至，他曾经毫不讳言地说：“它是一个真正的智能活动中心。我曾在芝加哥大学念研究生，它比芝大强百倍，我曾在耶鲁念大学，它比耶鲁强万倍！”

犹太裔匈牙利数学家阿尔弗莱德·哈尔（Alfréd Haar）就曾在哥廷根大学求学。哈尔最初的大学生活开始于布达佩斯，但在1904年他转而进入当时世界的数学中心哥廷根大学。1909年，哈尔获得博士学位，他的导师正是希尔伯特。现在我们所熟知的哈尔测度，哈尔小波以及哈尔变换这些数学概念都是以他的名字命名的。1912年，克卢日大学（现称弗兰兹约瑟夫大学）邀请哈尔和里斯前往执教。第一次世界大战结束前，奥匈帝国灭亡，奥地利帝国的伙伴匈牙利王国宣布独立。由于奥匈帝国包含数个不同种族，故此需要重新划定匈牙利、奥地利及其他刚刚独立之新国家的边界。于是便有了后来著名的《特里亚农条约》。根据此条约，特兰西瓦尼亚的部分土地从匈牙利划出成为罗马尼亚的领土。因此哈尔所在的大学不得不迁往临近的塞格德。在那里，哈尔与里斯一同建立了一个数学中心，并创立了第一本受国际认可的匈牙利数学学术期刊。

克莱茵早在1914年便开始设想筹建专门的数学研究所，该计划最终在1929年得以实现，当时克莱因已经去世。新落成的哥廷根数学研究所迅速成为各国数学家神往的圣地。哥廷根每天都在创造着神话。

然而，成也萧何败也萧何！伴随德国在政治上完成统一后而崛起的哥廷根再次因为政治影响而轰然陨落。不禁然让人感叹，“眼见他起高楼，眼见他宴宾客，眼见他楼塌了”。准确的说，哥廷根这个盛极一时的数学神话，是在法西斯的浩劫下毁于一旦的。

1933年希特勒上台，掀起了疯狂的种族主义与排犹风潮，使德国科学界陷于一片混乱，哥廷根遭受的打击犹为惨重。在哥廷根漫长的发展历程中，这个数学圣地中一直就包括着不同国籍、不同民族的数学家，其中不少是犹太人。大家一定不会忘记，哥廷根数学的祖师爷高斯就是犹太人。另外，像我们前面提到的哈尔、闵可夫斯基、甚至闵可夫斯基的老师利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）都是犹太人。

在法西斯政府的种族隔离政策之下，大批犹太人纷纷逃离德国。对于哥廷根大学而言，这个几十年来以智力成就为单一评判标准的研究圣地，相关法令带来的打击是毁灭性的。

理查德·柯朗（Richard Courant）离开哥廷根去了美国。他在纽约大学创立的数学研究所成为后来美国的三大顶级数学研究所之一。赫尔曼·韦尔自己虽然不是犹太人，但是他的夫人是犹太人。如同爱因斯坦一样，韦尔去了美国的普林斯顿。保罗·伯尔内斯被剥夺了授课的权利，但是他还保住了作为希尔伯特最忠实助手的职位，一直到他离开前往苏黎世。

在一次宴会上，希尔伯特发现自己坐在了教育部长的身旁。部长问希尔伯特：“没有犹太人的影响，哥廷根的数学现在怎么样了？”他回答道：“哥廷根的数学？已经不存在了。”

麦克莱恩后来回忆到：“当我和多洛茜于1933年八月离开时，从前的哥廷根，独一无二的伟大的数学系典范已经珍藏在我心底。损失让我十分难过，然而我却不仅仅为科学而悲伤。我没能预见到大屠杀，但我的确意识到了国家机器宣传的威力，也真真切切地为一场世界大战的前景感到过恐慌，尽管我也知道我不可能阻止这一切。现在回想起来，这整个发展过程就是一场演示，一场任何对民众至上主义，政治压力和引导性的政治原则等的屈从对学术和数学生活的损害的无可置疑的演示。”

哥廷根数学的衰落，是现代科学史上因政治迫害而导致科学文化倒退的一幕典型悲剧。随着哥廷根的影响力日渐削弱，德国的数学也难于再现昨日的辉煌。事实上，直到今日，德国的数学也未能恢复到战前的水平。或许，唯有再降世一位像高斯那样的旷世奇才或者像希尔伯特那样具有超凡凝聚力的数学大师才能重振德国数学之辉煌。

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