通俗理解泛函和泛函的梯度下降流

声明：本文非原创，转载自《小腹黑zju的博客》

泛函的概念

函数 \(y=f(x)\) 是一个变量 \(x∈R\) 到 \(y∈R\) 的一个映射，而泛函是表示一个空间集合\(u∈R^N\)到\(R\)的映射。

说起来比较抽象，以一个例子说明：可以想象一个三维空间内有无数条不同的曲线，这些曲线组成了空间集合 \(u\)，每一条曲线表示该集合 \(u\) 的一个元素（\(u\) 类似于函数中的 \(x\) 变量，具体一条曲线对应 \(x\) 变量的某个具体值），这些曲线在实数 \(R\) 上都有一个值与之对应，当曲线变化时，对应的值也相应发生变化。

值得一提的是，由于 \(u\) 集合中的每条曲线对应一个值，该值实际上是表征了具体某条直线的特性（比如曲线的总长），这是一条曲线的整体对应了某个值，所以当具体一条曲线上的某个变量在变动时，该曲线对应的值是不变的，也就是说曲线上的变量变动对泛函无意义，而是整条曲线作为变量（比如一条曲线变成了集合 \(u\) 中的另一条曲线）对泛函值的改变才有贡献。这也就是为什么称泛函是 “函数的函数” 的原因（第一个函数表示 \(u\) 集合中的各条曲线，第二个函数表示曲线集合到实数 \(R\) 的映射）。

泛函的梯度下降流

为了更好地理解泛函的梯度下降流，首先来看函数的导数。什么是函数的导数？

函数的导数其实就是函数的增加方向。比如 \(u=x^2+y^2-9\) 的函数，用三维图表达该函数如下图。 \(u\) 的导数 \(u'=2x+2y\) ,指示的是 \(u\) 值的增加方向，这里的 \(x, y\) 表示向量，亦可写成 \(u'=(2x, 2y)\)。

类似于函数导数的概念，泛函的一阶变分（即类似于一阶导数）指示的是泛函的增加方向。因此一阶变分的负值就是该泛函的梯度下降流。

比如一个能量 \(E(u)=\int{f(x, u(x), \nabla u(x))}dx\) 关于 \(u\) 的一阶变分 \(E'(u)\) 的负值，即 \(-E'(u)\) 就是该能量泛函的梯度下降流，也就是说函数集 \(u\) 随着该方向行走，其对应的能量会逐步减少。例如 \(u\) 有其中一个函数 \(u(i)\) 对应能量 \(E(i)\) ， \(u(i+1)=u(i)+(-E'(u))\triangle t\) 表示 \(-E'(u)\) 的方向走了一个步长 \(\triangle t\) 后沿着所对应的能量 \(\frac{E(i+1)du}{dt}=\frac{u(i+1)-u(i)}{\triangle t}=-E'(u)=-\frac{dE(u)}{du}\) ，这个就是我们常见图像处理中的能量泛函下降流（流的意思就是从一个 \(u(i)→u(i+1)\) 的连续变化方向）。

标签：函数,导数,泛函和泛,梯度,曲线,泛函,集合,通俗,对应
来源： https://www.cnblogs.com/zhyantao/p/11096038.html