Cholesky分解

2019-06-25 18:51:26 作者：互联网

1、为什么要进行矩阵分解

个人认为，首先，当数据量很大时，将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积可以大大降低存储空间；其次，可以减少真正进行问题处理时的计算量，毕竟算法扫描的元素越少完成任务的速度越快，这个时候矩阵的分解是对数据的一个预处理；再次，矩阵分解可以高效和有效的解决某些问题；最后，矩阵分解可以提高算法数值稳定性，关于这一点可以有进一步的说明，

借用一个上学时老师给的例子：

有方程组：

$\begin{equation} \begin{cases} 5x_1+7x_2=0.7\\ 7x_1+10x_2=1 \end{cases} \end{equation}$

令 $A= \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}$ ， $x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ ， $b= \begin{pmatrix} 0.7\\ 1 \end{pmatrix}$

解方程组可得：

$x= \begin{pmatrix} 0.0 \\ 0.1 \end{pmatrix}$

现在对b进行微小扰动：

$b= \begin{pmatrix} 0.69 \\ 1.01 \end{pmatrix}$ ，扰动项为： $\begin{pmatrix} -0.01 \\ 0.01 \end{pmatrix}$

此时相应的解为：

$x= \begin{pmatrix} -0.17 \\ 0.22 \end{pmatrix}$ 。

这个例子说明，当方程组常数项发生微小变动的时候会导致求出的结果差别相当大，而导致这种差别的并不是求解方法，而是方程组系数矩阵本身的问题，这会给我们解决问题带来很大危害，例如，我们在用计算机求解这类问题时难以避免在计算当中出现舍入误差，如果矩阵本身性质不好会直接导致所答非所问。

对常数向量b和矩阵A进行一个简单的扰动分析：

1)、扰动b，原方程组为：

$Ax=b$ (式子1)，（ $b\neq0$ ，A非奇异）

扰动后为：

$A(x+\delta x)=b+\delta b$ (式子2)

把式子1带入式子2得： $A\delta x=\delta b$ ，用2-范式来衡量这种变化得： $||A\delta x|| =||\delta b||$ ，由于 $||Ax||\leq ||A||||x||$ ，于是得到：

$\frac{||\delta x||}{||x||}=\frac{||A^{-1}\delta b||}{||x||}\leq \frac{||A^{-1}||||\delta b||}{||x||}$

而利用式子1同理可得 $||x||\geq\frac{||b||}{||A||}$ ，整理后得：

$\frac{||\delta x||}{||x||}\leq \frac{||A||\quad ||A^{-1}||\quad ||\delta b||}{||b||}$ ，可见b的扰动对解的影响由 $||A||\quad ||A^{-1}||$ 决定。

2)、扰动A，扰动后为：

$(A+\delta A)(x+\delta x)=b$ (式子3)，（ $b\neq0$ ，A非奇异）

稍微做一下变换：

$A(x+\delta x)+\delta Ax+\delta A\delta x=b$

把式子1带入后得到：

$\delta x=A^{-1}(-\delta Ax-\delta A\delta x)$

对两边同时取2-范式有：

$||\delta x||=||A^{-1}(-\delta Ax-\delta A\delta x)|| \leq ||A^{-1}||\quad ||\delta Ax|| \quad ||\delta A|| \quad ||\delta x||$

于是有：

$||\delta x||=||A^{-1}(-\delta Ax-\delta A\delta x)|| \leq ||A^{-1}||\quad ||\delta A||\quad||x|| \quad ||\delta A|| \quad ||\delta x||$ ，整理一下就是：

$\frac{||\delta x||}{||x||}\leq \frac{||A^{-1}|| \quad ||A||\frac{||\delta A||}{||A||}}{1-||A^{-1}|| \quad ||A||\frac{||\delta A||}{||A||}}$ ，A的扰动对解的影响依然是由 $||A||\quad ||A^{-1}||$ 决定。

3)、对于同时扰动A和b的情况偶就不推了，最后的结果依然是，扰动对解的影响依然由 $||A||\quad ||A^{-1}||$ 决定。

定义矩阵的条件数 $cond(A)=||A||||A^{-1}||$ 来描述矩阵的病态程度，一般认为条件数小于100为良态，条件数在100到1000之间为中等程度的病态，条件数超过1000存在严重病态。以上面的矩阵A为例，采用2-范数表示的条件数为： $cond(A)=222.9955$ ，看来矩阵处于中等病态程度。

矩阵其实就是一个给定的线性变换，特征向量描述了这个线性变换的主要方向，而特征值描述了一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，有关特征值和特征向量的相关概念可查看http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors，对开篇的例子进一步观察发现，A是个对称正定矩阵，A的特征值分别为 $\lambda_1$ ：14.93303437 和 $\lambda_2$ ：0.06696563，两个特征值在数量级上相差很大，这意味着b发生扰动时，向量x在这两个特征向量方向上的移动距离是相差很大的——对于 $\lambda_1$ 对应的特征向量只需要微小的移动就可到达b的新值，而对于 $\lambda_2$ ，由于它比起 $\lambda_1$ 太小了，因此需要x做大幅度移动才能到达b的新值，于是悲剧就发生了……………..。

关于矩阵可以有以下各种分解方式，①矩阵的三角分解（Cholesky分解、LU分解等），②矩阵的正交三角分解(QR分解等)，③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异值分解(SVD)(关于SVD可以查看高人LeftNotEasy的http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html#2038925一文以及他提供的参考资料)。

再看矩阵A，它是个对称正定矩阵，对这种矩阵都可以进行Cholesky分解，也就是将矩阵A分解为： $A=L\quad L^T$ ，其中 $L$ 为一个下三角矩阵，具体操作随后讨论，回头看方程组 $Ax=b$ ，它就变成了：

$Ax=L\quad L^T\quad x=b$ ，

将它看成两个方程组：

$Ly=b$ 和 $L^Tx=y$ ，其中： $L= \begin{pmatrix} 2.236068 & 0.000000\\ 3.1304952 & 0.4472136 \end{pmatrix}$ ，特征值为 $\lambda_1$ ：2.2360680和 $\lambda_2$ ：0.4472136

此时采用2-范数表示的条件数为 $cond(L)=5$ ，显然上面这两个方程组也都是良态的且只需要存储矩阵 $L$ 的下三角部分即可，矩阵分解的优点可见一斑。

2、实正定Hermit矩阵的完全Cholesky分解

设矩阵A有如下形式：

$A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & b_1^*\\ b_1&B^1\\ \end{pmatrix}$

借用http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition中的推导：

令 $A^{(1)}:=A$ ，在第i次迭代时有：

$A^{(i)}= \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&a_{i,i}&b_i^*\\ 0&b_i&B^{(i)} \end{pmatrix}$ ，其中 $I_{i-1}$ 为i-1维单位矩阵

定义矩阵 $L_i$ ：

$L_{i}= \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&\sqrt{a_{i,i}}&0\\ 0&\frac{b_i}{\sqrt{a_{i,i}}}&I_{n-i} \end{pmatrix}$

于是要满足 $A^{(i)}=L_iA^{(i+1)}L^*_i$ ，就有：

$A^{(i+1)}= \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&B^{(i)}-\frac{b_i\quad b_i^*}{a_{i,i}} \end{pmatrix}$

这样一直迭代下去，直到 $A^{(i+1)}=I$ ，也就是有： $A=L_1\quad L_2\quad L_3\quad ...L_n\quad L_n^*\quad ...L_3^*\quad L_2^*\quad L_1^*\quad =L\quad L^*$ ，最后得到分解后的下三角矩阵 $L$ 的元素：

$L_{j,j}=\sqrt{A_{j,j}-\sum\limit_{k=1}^{j-1}L_{j,k}^2}$

$L_{i,j}=\frac{A_{i,j}-{\sum\limit_{k=1}^{j-1}{L_{i,k}\quad L_{j,k}}}}{L_{j,j}}$ $i>j$

当然 $L$ 也可以是上三角矩阵，此时

$L_{i}^*= \begin{pmatrix} I_{i-1}&0&0\\ 0&\sqrt{a_{i,i}}&0\\ 0&\frac{b_i}{\sqrt{a_{i,i}}}&I_{n-i} \end{pmatrix}$

$A=L_1^*\quad L_2^*\quad L_3^*\quad ...L_n^*\quad L_n\quad ...L_3\quad L_2\quad L_1\quad =L^*\quad L$

所以 $L$ 的元素是：

$L_{j,j}=\sqrt{A_{j,j}-\sum\limit_{k=1}^{j-1}L_{j,k}^2}$

$L_{i,j}=\frac{A_{i,j}-{\sum\limit_{k=1}^{j-1}{L_{k,i}\quad L_{k,j}}}}{L_{i,i}}$ $j>i$

一种比较直白的分解算法可以是这样的：

设有实对称矩阵:

$A=(a_{i,j}) \quad \quad \quad \quad 1 \leq i,j \leq n$

以及向量 $w$ 和保存分解结果的矩阵 $L$ ，算法伪码描述如下：

   1: for i:=1 to n do                                        //逐行计算L的值，w向量初始状态为实hermit矩阵A的上三角部分的一行

   2:     w(i .. n) := a(i,i .. n);

   3:     for k:=1 to i-1 do

   4:         temp := L(k,i);

   5:         if(temp != 0) then

   6:             w(i .. n) := w(i .. n) - temp*L(k,i .. n);  //计算L(i,j)公式的分子部分

   7:         endif;

   8:     endfor;

   9:     w(i) := sqrt(w(i));                                 //L矩阵对角线元素计算

  10:     w(i+1 .. n) := w(i+1 .. n) / w(i);                  //L矩阵非对角线元素计算

11:

  12:     L(i,i .. n) := w(i .. n);                           //更新L矩阵

  13:     w(i .. n) :=0;                                      //清空w向量

  14: endfor;

一个简单的实现如下：

   1: //串行完全Chlolesky分解,时间复杂度(O(n^3))

   2: double **complete_cholesky_decompose(double **A)

   3: {

   4:     if(NULL==A)

   5:         return NULL;

6:

   7:     double **L=malloc_matrix();

   8:     clear_matrix(L);

9:

  10:     int i,j,k,m;

11:

  12:     double *w=malloc_vector();

13:

  14:     clear_vector(w);//清除向量

15:

  16:     for(i=0;i<LEN;i++){

  17:         for(m=i;m<LEN;m++){

  18:             w[m]=A[i][m];

  19:         }

20:

  21:         for(k=0;k<i;k++){

  22:             double temp=L[k][i];

  23:             if(temp!=0){

  24:                 for(m=i;m<LEN;m++){

  25:                     w[m] -= temp*L[k][m];

  26:                 }

  27:             }

  28:         }

29:

  30:         w[i]=sqrt(w[i]);

  31:         for(m=i+1;m<LEN;m++){

  32:             w[m] /=w[i];

  33:         }

34:

  35:         for(m=i;m<LEN;m++){

  36:             L[i][m]=w[m];

  37:         }

38:

  39:         clear_vector(w);

  40:     }

41:

  42:     return L;

  43: }

代码可以在这里下载到。

在实践中，完全Cholesky分解有时并不是必须的，为了提高效率或者有利于编写并行算法等原因，不完全Cholesky(ICF)有时更加实用，关于ICF有很多算法，还有待学习。

3、实用工具和网址

(1)、R

我认为R是进行关于矩阵相关操作的较好工具，它是免费的和开源的(我记的是)，功能不亚于matlab，当然它能做的事情远远不止矩阵计算，还可以做分类、聚类、回归、统计分析等等等等，R可以从http://www.r-project.org/获取到，同时有linux版本和windows版本。

关于矩阵的一些简单命令我稍微列一下：

1)、创建向量

数据无规律：

   1: >  x=c(0,1,3,4,6,8,9)

   2: > x

   3:     [1] 0 1  3 4  6  8 9

数据有简单规律(从1~3以0.1的间隔输出)：

   1: > x=seq(1,3,by=0.1)

   2: > x

   3: [1] 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

数据有复杂规律(从0~5，每个数字重复2次)：

   1: > x=rep(0:5,rep(2,6))

   2: > x

   3: [1] 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

2)、创建矩阵

函数原型：

   1: > matrix

   2: function (data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)

   3: {

   4:     data <- as.vector(data)

   5:     if (missing(nrow))

   6:         nrow <- ceiling(length(data)/ncol)

   7:     else if (missing(ncol))

   8:         ncol <- ceiling(length(data)/nrow)

   9:     .Internal(matrix(data, nrow, ncol, byrow, dimnames))

  10: }

  11: <environment: namespace:base>

data存储矩阵数据，nrow和ncol分别为行数和列数，byrows默认为FALSE，表示矩阵数据生成时以列为主序，例如：

   1: > data=c(

   2: + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644,

   3: + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792,

   4: + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512,

   5: + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727,

   6: + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776,

   7: + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713,

   8: + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967,

   9: + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258,

  10: + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323,

  11: + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582

  12: + )

  13: > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE)

  14: > a

  15:         [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]   [,7]   [,8]   [,9]  [,10]

  16: [1,] 0.0100 0.1710 0.0967 0.1661 0.1254 0.0728 0.0928 0.1272 0.1041 0.0644

  17: [2,] 0.1710 3.3743 2.3896 3.5556 2.6312 1.6968 1.8502 2.6637 2.5208 1.2792

  18: [3,] 0.0967 2.3896 2.5098 3.0234 2.1745 1.6661 1.5959 2.5601 2.6507 1.0512

  19: [4,] 0.1661 3.5556 3.0234 4.3530 3.4144 2.5287 2.3244 3.6691 3.5036 1.6727

  20: [5,] 0.1254 2.6312 2.1745 3.4144 2.9375 2.4152 1.9473 3.0911 2.9016 1.6776

  21: [6,] 0.0728 1.6968 1.6661 2.5287 2.4152 2.5097 1.7161 2.8719 2.6663 2.0713

  22: [7,] 0.0928 1.8502 1.5959 2.3244 1.9473 1.7161 2.0160 3.2206 2.3529 1.8967

  23: [8,] 0.1272 2.6637 2.5601 3.6691 3.0911 2.8719 3.2206 5.8295 4.0840 3.4258

  24: [9,] 0.1041 2.5208 2.6507 3.5036 2.9016 2.6663 2.3529 4.0840 3.8915 2.7323

  25: [10,] 0.0644 1.2792 1.0512 1.6727 1.6776 2.0713 1.8967 3.4258 2.7323 4.3582

3)、矩阵转置

   1: > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE)

   2: > A

   3:      [,1] [,2] [,3] [,4]

   4: [1,]    0    1    2    3

   5: [2,]    4    5    6    7

   6: [3,]    8    9   10   11

   7: > t(A)

   8:      [,1] [,2] [,3]

   9: [1,]    0    4    8

  10: [2,]    1    5    9

  11: [3,]    2    6   10

  12: [4,]    3    7   11

4)、矩阵加减

   1: > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE)

   2: > B=matrix(1:12,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE)

   3: > B-A

   4:      [,1] [,2] [,3] [,4]

   5: [1,]    1    1    1    1

   6: [2,]    1    1    1    1

   7: [3,]    1    1    1    1

   8: > B+A

   9:      [,1] [,2] [,3] [,4]

  10: [1,]    1    3    5    7

  11: [2,]    9   11   13   15

  12: [3,]   17   19   21   23

5)、矩阵相乘

   1: > A=matrix(0:11,nrow=3,ncol=4,byrow=TRUE)

   2: > B=matrix(1:12,nrow=4,ncol=3,byrow=TRUE)

   3: > A%*%B

   4:      [,1] [,2] [,3]

   5: [1,]   48   54   60

   6: [2,]  136  158  180

   7: [3,]  224  262  300

6)、取方阵对角元素

   1: > A=matrix(0:8,nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

   2: > A

   3:      [,1] [,2] [,3]

   4: [1,]    0    1    2

   5: [2,]    3    4    5

   6: [3,]    6    7    8

   7: > diag(A)

   8: [1] 0 4 8

7)、矩阵求逆

   1: > A=matrix(c(1,2,3,0,4,5,0,0,6),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

   2: > solve(A)

   3:      [,1]  [,2]        [,3]

   4: [1,]    1 -0.50 -0.08333333

   5: [2,]    0  0.25 -0.20833333

   6: [3,]    0  0.00  0.16666667

8)、特征值与特征向量

   1: > A=matrix(c(1,2,3,0,4,5,0,0,6),nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)

   2: > eigen(A)

   3: $values

   4: [1] 6 4 1

5:

   6: $vectors

   7:           [,1]      [,2] [,3]

   8: [1,] 0.5108407 0.5547002    1

   9: [2,] 0.7981886 0.8320503    0

  10: [3,] 0.3192754 0.0000000    0

11:

9)、正定hermit矩阵的完全Cholesky分解

   1: > data=c(

   2: + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644,

   3: + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792,

   4: + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512,

   5: + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727,

   6: + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776,

   7: + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713,

   8: + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967,

   9: + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258,

  10: + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323,

  11: + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582

  12: + )

  13: > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE)

  14: > chol(a)

  15:       [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]      [,7]      [,8]      [,9]     [,10]

  16: [1,]  0.1 1.7100000 0.9670000 1.6610000 1.2540000 0.7280000 0.9280000 1.2720000 1.0410000 0.6440000

  17: [2,]  0.0 0.6709694 1.0969650 1.0660545 0.7256068 0.6735329 0.3924471 0.7281703 1.1039102 0.2652282

  18: [3,]  0.0 0.0000000 0.6094086 0.4066049 0.2722586 0.3663913 0.4398089 0.8718268 0.7106926 0.2256384

  19: [4,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.5406286 0.8273109 0.8369753 0.3436621 0.7871389 0.5710010 0.4226980

  20: [5,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.2826847 0.7831198 0.3352446 0.2797313 0.4573777 0.9425268

  21: [6,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.2793255 0.2322540 0.9241146 0.2450380 0.8923532

  22: [7,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.7231424 1.0953043 0.3243910 0.5908204

  23: [8,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.4119291 0.4303230 0.3608438

  24: [9,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.4454546 0.8321836

  25: [10,]  0.0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.8871720

10)、矩阵奇异值分解

   1: > data=c(

   2: + 0.0100,0.1710,0.0967,0.1661,0.1254,0.0728,0.0928,0.1272,0.1041,0.0644,

   3: + 0.1710,3.3743,2.3896,3.5556,2.6312,1.6968,1.8502,2.6637,2.5208,1.2792,

   4: + 0.0967,2.3896,2.5098,3.0234,2.1745,1.6661,1.5959,2.5601,2.6507,1.0512,

   5: + 0.1661,3.5556,3.0234,4.3530,3.4144,2.5287,2.3244,3.6691,3.5036,1.6727,

   6: + 0.1254,2.6312,2.1745,3.4144,2.9375,2.4152,1.9473,3.0911,2.9016,1.6776,

   7: + 0.0728,1.6968,1.6661,2.5287,2.4152,2.5097,1.7161,2.8719,2.6663,2.0713,

   8: + 0.0928,1.8502,1.5959,2.3244,1.9473,1.7161,2.0160,3.2206,2.3529,1.8967,

   9: + 0.1272,2.6637,2.5601,3.6691,3.0911,2.8719,3.2206,5.8295,4.0840,3.4258,

  10: + 0.1041,2.5208,2.6507,3.5036,2.9016,2.6663,2.3529,4.0840,3.8915,2.7323,

  11: + 0.0644,1.2792,1.0512,1.6727,1.6776,2.0713,1.8967,3.4258,2.7323,4.3582

  12: + )

  13: > a=matrix(data,nrow=10,ncol=10,byrow=TRUE)

  14: > svd(a)

  15: $d

  16:  [1] 2.419118e+01 4.155429e+00 1.305297e+00 1.042439e+00 7.271958e-01 1.724779e-01 1.188910e-01 7.550273e-02 6.811257e-04 4.025360e-04

17:

  18: $u

  19:              [,1]        [,2]        [,3]          [,4]        [,5]         [,6]        [,7]        [,8]         [,9]        [,10]

  20:  [1,] -0.01423809 -0.01770852  0.01046421  0.0440060554 -0.03708011  0.003989202  0.02212364 -0.02965763  0.609656748 -0.789301225

  21:  [2,] -0.30655677 -0.38844316  0.21540302  0.5860837223 -0.20831346 -0.071321462  0.09280202 -0.53705509  0.058902791  0.127479773

  22:  [3,] -0.27500938 -0.28653235 -0.04046986 -0.0006133085  0.62767935 -0.424262650 -0.38187184  0.16164557  0.260582126  0.163683441

  23:  [4,] -0.39289768 -0.37181967  0.10218229  0.0430729100 -0.04830660  0.258172491 -0.19145885  0.37788201 -0.530454225 -0.406528598

  24:  [5,] -0.32434239 -0.18416219  0.18854340 -0.2694300561 -0.38073924  0.273128771  0.08003428  0.37039768  0.491516620  0.384701079

  25:  [6,] -0.28065826  0.08302171  0.24277466 -0.6198550162 -0.27053693 -0.402153630 -0.20235690 -0.39991126 -0.144858619 -0.119997665

  26:  [7,] -0.26573534  0.09522360 -0.29346909  0.1374724777 -0.21528535 -0.600459122  0.52653396  0.34671820 -0.089612967 -0.053976475

  27:  [8,] -0.44372190  0.30810327 -0.69462776  0.0748652314 -0.12439310  0.238340862 -0.32629727 -0.18852619  0.059652991  0.047118889

  28:  [9,] -0.38271998  0.06649679  0.03894330 -0.2531095648  0.52173933  0.307376912  0.59639765 -0.24228533 -0.036358521 -0.033403328

  29: [10,] -0.27906174  0.69225888  0.52609547  0.3276170825  0.08203487 -0.008974789 -0.14718647  0.17374370  0.008992724  0.007135959

30:

  31: $v

  32:              [,1]        [,2]        [,3]          [,4]        [,5]         [,6]        [,7]        [,8]         [,9]        [,10]

  33:  [1,] -0.01423809 -0.01770852  0.01046421  0.0440060554 -0.03708011  0.003989202  0.02212364 -0.02965763  0.609656748 -0.789301225

  34:  [2,] -0.30655677 -0.38844316  0.21540302  0.5860837223 -0.20831346 -0.071321462  0.09280202 -0.53705509  0.058902791  0.127479773

  35:  [3,] -0.27500938 -0.28653235 -0.04046986 -0.0006133085  0.62767935 -0.424262650 -0.38187184  0.16164557  0.260582126  0.163683441

  36:  [4,] -0.39289768 -0.37181967  0.10218229  0.0430729100 -0.04830660  0.258172491 -0.19145885  0.37788201 -0.530454225 -0.406528598

  37:  [5,] -0.32434239 -0.18416219  0.18854340 -0.2694300561 -0.38073924  0.273128771  0.08003428  0.37039768  0.491516620  0.384701079

  38:  [6,] -0.28065826  0.08302171  0.24277466 -0.6198550162 -0.27053693 -0.402153630 -0.20235690 -0.39991126 -0.144858619 -0.119997665

  39:  [7,] -0.26573534  0.09522360 -0.29346909  0.1374724777 -0.21528535 -0.600459122  0.52653396  0.34671820 -0.089612967 -0.053976475

  40:  [8,] -0.44372190  0.30810327 -0.69462776  0.0748652314 -0.12439310  0.238340862 -0.32629727 -0.18852619  0.059652991  0.047118889

  41:  [9,] -0.38271998  0.06649679  0.03894330 -0.2531095648  0.52173933  0.307376912  0.59639765 -0.24228533 -0.036358521 -0.033403328

  42: [10,] -0.27906174  0.69225888  0.52609547  0.3276170825  0.08203487 -0.008974789 -0.14718647  0.17374370  0.008992724  0.007135959

11)、矩阵QR分解

   1: > A=matrix(1:12,3,4)

   2: > qr(A)

   3: $qr

   4:            [,1]      [,2]          [,3]          [,4]

   5: [1,] -3.7416574 -8.552360 -1.336306e+01 -1.817376e+01

   6: [2,]  0.5345225  1.963961  3.927922e+00  5.891883e+00

   7: [3,]  0.8017837  0.988693  3.443426e-16 -3.439089e-16

8:

   9: $rank

  10: [1] 2

11:

  12: $qraux

  13: [1] 1.267261e+00 1.149954e+00 3.443426e-16 3.439089e-16

14:

  15: $pivot

  16: [1] 1 2 3 4

17:

  18: attr(,"class")

  19: [1] "qr"

(2)、找论文的好去处

1)、http://www.pdfgratis.com/一个非常强大的网站，能下载到各种论文；

2)、http://jeffhuang.com/best_paper_awards.html

(3)、编写latex公式的工具

最初是在小桥流水的博客上发现的，地址如下：http://www.cnblogs.com/youwang/archive/2010/04/04/1704099.html，对他的插件做了一点修改，增加的功能是：可以还原公式，例如：用该工具写公式， $a=b+1$ ，选中该公式，然后单击插件，可以看到公式的latex代码，源码可以在这里下载到。

转载于:https://www.cnblogs.com/vivounicorn/archive/2011/03/22/1991479.html

标签：11,10,Cholesky,matrix,矩阵,分解,ncol,0.0000000
来源： https://blog.csdn.net/weixin_33866037/article/details/93642184