2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

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题目

曲线 $\sin (xy)+\ln(y-x)=x$sin(xy)+ln(y−x)=x 在点 $(0,1)$(0,1) 处的切线方程为____.

解析

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有：

• $(\sin x)'=\cos x;$(sinx)′=cosx;

• $(\ln x)'=\frac{1}{x};$(lnx)′=x1​;

• $(ab)'=a'b+ab';$(ab)′=a′b+ab′;

• $f'(x)=f'[\phi(x)]\cdot\phi'(x).$f′(x)=f′[ϕ(x)]⋅ϕ′(x).

求导过程中另外需要注意的两点如下：

• 对 $x$x 求导，则包括 $x$x 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$x 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ') 即可，不进行求导计算；

• 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下：

$y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​).

解答思路如下：

由于切线方程的计算公式中包含导数 $f'(x)$f′(x)，因此，首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$x 求导可以产生导数 $y'$y′：

$[\sin(xy)+\ln(y-x)]'=(x)'\Rightarrow\cos(xy)(x'y+xy')+\frac{1}{y-x}(y-x)'=1\Rightarrow \cos(xy)(y+xy')+\frac{1}{y-x}(y'-1)=1$[sin(xy)+ln(y−x)]′=(x)′⇒cos(xy)(x′y+xy′)+y−x1​(y−x)′=1⇒cos(xy)(y+xy′)+y−x1​(y′−1)=1

要求的是曲线在点 $(0,1)$(0,1) 处的切线方程，因此，我们把 $x=0;y=1$x=0;y=1带入上面的到的式子中，得：

$1\cdot1+1\cdot(y'-1)=1\Rightarrow 1+y'-1=1\Rightarrow y'=1.$1⋅1+1⋅(y′−1)=1⇒1+y′−1=1⇒y′=1.

即：

$y'(0)=1.$y′(0)=1.

将上述结果带入切线方程求导公式得：

$y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1.$y−1=1⋅(x−0)⇒y=x+1.

综上可知，本题得答案是：$y=x+1$y=x+1

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