102422关系
作者：互联网
1.关系
1.1关系
事物之间（客体之间）的相互联系，称为关系
n元笛卡尔积A1×A2× …… ×An反映了 n 个客体之间的关系，所以是 n元关系。
序偶〈a，b〉实际上反映了二个元素之间的关系，从而是二元关系。
注意：关系和笛卡尔乘积
笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。
设集合X={1, 2, 3, 4}，Y={1, 2}，则X ×Y = {<1,1 >，<1,2 >，< 2,1 >，< 2,2 >，< 3,1 >，< 3,2 >，< 4,1 >，< 4,2 >}
R1 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x>y } = {<2 , 1>， <3 , 1>， <3 , 2>， <4 , 1>， <4 , 2>， <4 , 3> }
R2 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x=y2 } = {<1 , 1>， <4 , 2> }
R2 = {<x , y>| x ∈X∧ y ∈Y ∧ x=y } = {<1 , 1>， <2 , 2> } R1，R2，R3 均为二元关系。
1.2序偶
由二个具有给定次序的客体所组成的序列称为序偶，记作〈x，y〉
说明：在序偶中二个元素要有确定的排列次序。
即：若 a ≠ b 时，则〈a，b〉 ≠ 〈b，a〉若〈x，y〉=〈a，b〉 则 （x = a ∧ y = b）
多重序偶：三重序偶〈x，y，z〉=〈〈x，y〉，z〉
n重序偶〈x1，…，xn〉=〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉
重要关系
2.二元关系
2.1定义
设 A×B = {〈x，y〉| (x ∈A) ∧ (y ∈B) }，若集合R ⊆A×B，则称 R 是从 A 到 B的一个二元关系。
即二元关系 R 是以序偶作为元素的集合。若〈x，y〉∈ R，则记作 x R y，否则，记作
注：A×B 的任何子集都称作从 A 到 B的二元关系，特别当 A = B 时，称作 A上的关系。
2.2表示方法
2.2.1枚举法（列举法）
二元关系定义如图：
可写成：R = {< 1, a > ，< 2,b > ， < 3, c > ， < 4, d >}
由定义可见：关系是一个集合，∴定义集合的方法都可以用来定义关系。
2.2.2谓词公式表示法
前面讲述，集合可用谓词公式来表达，所以关系也可用谓词公式来表达。
例如：实数集合R上的“>” 关系可表达为：“>” = {〈x，y〉| x ∈R ∧ y ∈R ∧ x>y }
2.2.3关系矩阵表示法
规定：
(a)对于二元关系的序偶 <x , y> ，其左元素表示行，右元素表示列；
(b)若 xi R yj ，则在对应位置上记“1”，否则记“0”。
例如：已知集合 A={1, 2, 3, 4}，并定义A上的关系R={⟨1,2⟩,⟨1,3⟩,⟨2,1⟩,⟨2,2⟩,⟨3,3⟩,⟨4,3⟩}
则R的关系矩阵为
例如：设 X={a，b，c}，Y={1，2}，R1是Ｘ→Ｙ的关系，
称 R1是Ｘ→Ｙ的全域关系，
其关系矩阵为
2.2.4关系图表示法
规定：
(a) 把Ｘ，Ｙ集合中的元素以点的形式全部画在平面上；
(b)若 xi R yj ，则在 xi 和 yj 之间画一条有向弧，反之，不画任何曲线。
2.3关系的定义域和值域
设R是一个二元关系，令集合 D(R) ={ x | ∃ y (<x, y> ∈R) }；集合 R(R) ={ y | ∃ x (<x, y> ∈R) }；
则称D(R)为R的定义域， R(R)为R的值域。
例如：设X={1, 2, 3, 4, 5, 6}，Y = {a, b, c, d, e, f}，
令R ={<1,a >< 2,b >< 3, c >< 4,d >}，
则R是X到Y的二元关系。
R的定义域：D(R) ={1, 2, 3, 4}，R的值域： R(R) ={a, b, c, d}。一般情况，称X为R的前域，称Y为R的陪域。
2.4特殊二元关系
定义：设 R 是A × A的子集，
①若R =A × A ，则称R是 A上的全域关系，即R = A × A = { <x , y> | x ,y ∈A }.
全域关系R1 = A×A
自反的，对称的，可传递的。
②若R= Ø，则称R是A上的空关系.
空关系R2 =Ø
反自反的，对称的，反对称的，可传递的。
③集合A上的恒等关系：I A = { <x , x> | x ∈A }.
恒等关系R3 = { < 1 , 1 > < 2 , 2 > < 3 , 3 > }
自反的，对称的，反对称的，可传递的
其它常用关系：
2.5关系的五种性质
自反，反自反，对称，反对称，传递
1、自反性
设 R是集合X中的二元关系，若对于每一个 x ∈X ，都有 x R x ，则称R具有自反性。
注：X上R是自反的 ⇔ ∀x ( x ∈X → x R x ).
例如：设 X = {a , b , c}，R = {< a , a > < b , b > < c , c > < a , b >} 则R是自反的关系。
主对角线元素都为 1；
图中每个顶点都有环。
2、反自反性
设 R是集合X中的二元关系，若对于每一个 x ∈X ，都有 x R x ，则称R具有反自反性。
注：X上R是自反的 ⇔ ∀x ( x ∈X → x R x ).
例如：设 X = {1 , 2 , 3}，R1 = { < 1 , 2 > < 2 , 1 > };R2 = { < 1 , 2 > } ；R3 = { < 2 , 1 > };
则R1， R2， R3都是反自反的。
主对角线元素都为 0；
例如：设 X = {1 , 2 , 3}，R1 = { < 1 , 2 > < 2 , 1 > };R2 = { < 1 , 2 > } ；R3 = { < 2 , 1 > };
则R1，R2，R3都是反自反的。
图中每个顶点都无环。
例如：设 X = {1 , 2 , 3}，R4 = { < 1 , 1 > < 2 , 1> < 3 , 1> < 3 , 2 > };
则 R4 既不是自反的，也不是反自反的。
3、对称性
设 R是集合X中的二元关系，对于任意的 x ，y ∈X ，如果每当有 x R y ，都必有 y R x ，则称R在X上具有对称性。
例如：设 X = {1 , 2 , 3}，R = {< 1 , 1 > < 2 , 1 > < 1 , 2 > < 3 , 2 > < 2 , 3 > } 则R是对称的关系。
对称矩阵 若两顶点间有边，则必有一对方向相反的边
4、反对称性
设 R是集合X中的二元关系，对于任意的 x ，y ∈X ，如果每当有 x R y 和 y R x ，都必有 x = y，则称R在X上具有反对称性。
注：X上R是反对称的 ⇔ ∀x ∀y ( x ∈X ∧y ∈X ∧x R y ∧y R x → x = y ).
分析：① 若前件 x R y ∧y R x 为“T”，且后件 x = y 也为“T”，则 R是反对称的；
②若前件 x R y ∧y R x 为“F”（有三种情况），后件不论是真还是假，命题均为“T”，则 R是反对称的。
例1：设 X = {a , b , c}，R1 = { < a , b > < b , c > < c , a > }，R2 = {< a , c > < a , a > < b , b > < c , c > } ，
R3 = {< a , a > < b , c > < c , a > } ，则R1， R2， R3 均是反对称的。
注：如果两顶点间有边，则必是一条有向边
5、传递性
设 R是集合X中的二元关系，对于任意的 x ，y ，z ∈X ，如果每当有 x R y ∧ y R z ，就必有 x R z 。
则称R在X上具有传递性
分析：① 若前件 x R y ∧y R z 为“T”，且后件 x R z 也为“T”，则 R是可传递的；
②若前件为“F”（有三种情况），后件不论是真还是假，命题均为“T”，则 R是可传递的。
例1：设 X = {a , b , c}，则下列关系均是可传递的。
R1 = { < a , a > < a , b > < a , c > < b , c > }
R2 = {< a , b >}
R3 = {< a , b > < a , c > }
R4 = Ø
2.6关系的合成
2.6.1关系的复合
（1）定义：
设 R是X→Y的二元关系，S是Y→Z的二元关系，于是可得X →Z的二元关系：
{ <x , z> | x∈X∧z∈Z∧∃ y (y∈Y∧x R y∧y S z ) } 称此集合为R与S的复合关系，记为R◦S 或 RS.
R◦S ≠ S◦R ，复合关系“◦”不满足交换律.
（2）复合关系的矩阵表示
逻辑加法： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 布尔矩阵的布尔乘法：把矩阵乘法中的“+”改为∨，“+”改为∧，其它不变。记为 MR◦MS 。
2.6.2 关系 R 的幂
《定义》给定集合X，R 是X上的二元关系， n为自然数，于是 R 的 n 次幂可定义为：
（1） R0 = X集合中的恒等关系，即R0 ={ <x , x> | x∈X } = IX ；
（2） Rn+1 = Rn ◦R
设 X = {1 , 2 , 3 }，X上的关系R = { <1,2> <2,3> <3,1> }
求 R0，R2，R3，R4。
解： R0 = { <1,1> <2,2> <3,3> } = IX R2 = { <1,3> <2,1> <3,2> }
R3 = R2 ◦ R = { <1,1> <2,2> <3,3> } = IX R4 = R3 ◦ R = R
《定理》设R为A上的二元关系，m，n为自然数，那么
（1）RmRn = Rm+n
（2）(Rm)n = Rmn .
设Ａ={a, b, c, d}, R={<a, b> <b, a> <b, c> <c, d>},求 R2，R3 ，R4，R5。
解：R2 = { <a, a> < a, c > < b, b > < b, d > }
R3 = R2 ◦ R = { <a, b> < a, d > <b, a> <b, c>}
R4 = R3 ◦ R = {<a, a> <a, c> <b, b> <b, d>} = R2 .
R5 = R4 ◦ R = R2 ◦ R = R3 .
注：若|X|=n，则X中的二元关系R的幂次值是有限的。一般不用求出超过X的基数次幂。
2.6.3逆关系
定义：给定两个集合X和Y，若R 是X→Y的关系，那么从Y→X的关系称为R的逆关系，记为
或R-1，即
⑴只要将R中每一个序偶中的元素全部调换位置，就可得到R的逆关系
(2)
的关系矩阵为
⑶
在R的关系图中，只要把所有箭头改换方向，就可得到
的关系图。（自回路箭头改变与否无关)
定理：设R ，R1，R2是集合A，B上的二元关系，则
(1) ( R-1)-1=R；
(2) (R1∪R2)-1=R1-1∪R2-1；
(3) (R1∩R2)-1=R1-1∩R2-1 ；
(4) (R1-R2)-1=R1-1 -R2-1 ；
(5) (A×B)-1=B×A;
(6) Ø -1= Ø；
(7) R1 ⊆ R2，则 R1-1 ⊆ R2-1；
定理：设R是X中的二元关系，那么R是对称的当且仅当 R = 
2.6.4关系的闭包
《定义》给定集合X，R是X中的二元关系，若有另一关系 R¢满足下列条件：
⑴ R′是自反的（对称的、可传递的）；
⑵ R′ ⊇ R ；
⑶ 对于任一自反（对称、可传递）关系R″，若R″ ⊇ R ，则必有 R² ⊇ R′；
则称R′是R的自反（对称、可传递）闭包，并依次用r(R)，s(R)，t(R)来表示之。
讨论定义：
⑴ 已知一个集合中的二元关系R，则 r(R)，s(R)，t(R) 是唯一的，它们是包含R的最小的自反（对称、可传递）关系；
⑵ 若R是自反（对称、可传递）的，则 r(R)，s(R)，t(R) 就是R本身；
⑶ 若R不是自反（对称、可传递）的，则我们可以补上最少序偶，使之变为自反（对称、可传递）关系，从而得到r(R)，s(R)，t(R) .
《定理》给定集合X，R是X上的二元关系，则
⑴ R是自反的当且仅当 r(R)=R；
⑵ R是对称的当且仅当 s(R)=R；
⑶ R是可传递的当且仅当 t(R)=R。
《定理1》设R是X上的二元关系，Ix 是X上的恒等关系，则有 r(R) = R U Ix .
《定理2》设R是X上的二元关系，则有 s(R) = R U R-1
《定理3》设R是X上的二元关系，则有 t(R) = R U R2 U R3 U ··· = 
2.6.5次序关系
2.6.5.1偏序集合
定义：
设R是X上的二元关系，如果R是自反的，反对称的和可传递的，则称R是X中的偏序关系（或称偏序），并用符号“≤”表示，而序偶〈X，≤〉则称为偏序集合。
⑴ “≤”不单纯意味着在实数中的 ≤ 关系，而是代表更为普遍的关系（具有自反，反对称和可传递性的关系）；
⑵ 若 x, y∈ X ，“x ≤ y”读作：“x小于或等于y”；
⑶ R是集合X中的偏序关系，则 R 也是X中的偏序关系，若R用“≤”表示，R 则用“≥”表示；
⑷ 若〈X，≤〉是一个偏序集合，则〈X，≥〉也一定是偏序集合，且偏序集合是一个序偶，左元素为集合X，右元素为偏序关系。
定义：在偏序集合〈X，≤〉中，若对任意的 x, y∈X，均有x ≤ y 或 y ≤ x，则称x和y是可比较的，否则称x和 y是不可比较的。
2.6.5.2特殊的
拟序集合
定义：R是集合X中的二元关系，若R是反自反的，反对称的和可传递的，则称R是X中的拟序关系（串序），并用符号“<”表示。而序偶〈X,<〉称为拟序集合。
讨论：（1）拟序关系一定反对称的；（2）拟序关系也可用偏序关系来定义：
全序集合
定义：设〈X，≤〉是一个偏序集合，若对于每一个 x, y ∈ X ，或者 x ≤ y，或者 y ≤ x，即
∀x ∀y(x ∈X ∧ y ∈ X → x ≤ y∨y ≤ x) ，则称偏序关系“≤” 为全序关系，而〈X，≤〉称为全序集合（线序集合）。
在偏序集合中，一般情况下，一定是：有的元素是可以比较的，有的元素是不可比较的。而在全序关系中，所有的元素均是可比较的.
良序集合
定义：若集合X上的二元关系R是全序关系，且X的任一非空子集，都有一个最小元素，则称R为良序关系，并称<X,R>为良序集合。
注：⑴ 良序关系比全序关系多了一个条件，即在全序关系中，X集合的任一非空子集均有一个最小元素；
⑵ 每一个有限集合X上的全序关系必定是良序关系。
2.6.5.3偏序集合和哈斯图
2.6.5.3.1定义
在偏序集合〈X，≤〉中，若有 x, y ∈ X，且x ≤ y 但 x ≠ y ，
且又不存在其它元素 z 能使x ≤ z ∧ z ≤ y，
则称元素 y 盖住 x，盖住集记为 COV( X )={< x, y >| x, y ∈ X；y盖住 x }.
给定偏序集合〈X，≤〉，它的盖住集是唯一的。我们可以画出盖住集的关系图，称为偏序集合〈X，≤〉的哈斯图。
2.6.5.3.2偏序集合〈X，≤〉的哈斯图的画法
⑴ 用“◦”表示 X 中的结点（表示自反性）；
⑵ 若 x, y∈ X ，且 x ≤ y 和 x ≠ y ，则把 x 画在y 的下面；
⑶ 若 y 盖住 x，则在 x 和y之间画一条连线，并箭头向上；若 y 不盖住 x，但又存在“≤”关系，则必定能通过 x 和 y 之间的其它中间结点把 x 和 y 联结起来；
⑷ 所有边的方向均是向上的，所以实际画时，箭头均可省去。
2.6.5.3.3偏序集中的最小（大）元，极小（大）元
《定义》给定偏序集合<A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，
(1) 若∃ b∈ B ，使得∀x（ x ∈B → x ≤ b）成立，则称 b 为 B 的最大元，即 b 大于B中其它所有元。
(2) 若∃ b∈ B ，使得∀x（ x ∈B → b ≤ x）成立，则称 b 为 B 的最小元，即 b 小于B中其它所有元。
《定义》给定偏序集合< A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，
(1) 若∃ b ∈ B ，使得¬ ∃x（ x ∈B ∧ x ≤ b）成立，则称 b 为 B 的极小元。即B中没有比 b 还小的元。
(2) 若∃ b ∈ B ，使得¬ ∃x（ x ∈B ∧ b ≤ x）成立，则称 b 为 B 的极大元。即B中没有比 b 还大的元。
注：由定义可知：
⑴ 集合B的最大（小）元、极大（小）元，若有的话，必在 B 中；
⑵ 最大（小）元是对B中所有元素与其作比较而言的；而极大（小）元是对 B 中能够与其作比较的元素而言的。
⑶ 最大（小）元不一定存在，若存在必唯一；而极大（小）元一定存在，且不一定唯一。
2.6.5.3.4偏序集中的上（下）界，上（下）确界
定义
给定偏序集合< A , ≤ >，且子集 B ⊆ A，
(1) 若 ∃ a ∈ A ，使得∀x（ x ∈B → x ≤ a）成立，则称 a 为 B 的上界，其中最小的一个上界，
称为 B 的上确界，记为LUB。
(2) 若 ∃ a ∈ A ，使得∀x（ x ∈B → a ≤ x）成立，则称 a 为 B 的下界，其中最大的一个下界，
称为 B 的下确界，记为GLB。
注：由定义可知：
(1) 上（下）界是与 B 中所有元素作比较而言的。
(2) B 的上（下）界不一定存在，若存在，也不一定是唯一的。
(3) B 的LUB（GLB）不一定存在，若存在必唯一。
(4) 若B 的上（下）界、LUB（GLB）存在，则其可能在B 中，也可能不在 B 中，但一定在 A中。
《定理》设偏序集合 < A , ≤ >，B是A的子集，则：
(1) 如果b是B的最大元，那么b也是B的极大元.
(2) 如果b是B的最大元，那么b就是B的 lub.
(3) 如果b是B的一个上界且 b B，那么b就是B的最大元.
2.6.5等价关系
2.6.5.1定义
设R是X上的二元关系，如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R是X上的等价关系。
分析：等价关系R的有向图满足：自反的，对称的，传递的。
2.6.5.2等价类
定义：设R是X上的等价关系，对于∀ x ∈ X ，定义 X 的子集[x]R = { y | y ∈ X∧ x R y }
称子集 [x]R是由 x 生成的关于R的等价类，简记为 [x]，并称 x 为等价类 [x] 的表示元素。
注：⑴ 等价类 [x]R 是一个集合，且 [x]R ⊆ X .
⑵ [x]R中的元素是：所有与 x 具有等价关系 R 的元素所组成的集合，且 [x]R ≠ Ø.
2.6.5.3划分
定义：设X是一非空集合，A1, A2 , … , Am 是它的非空子集，且满足
⑴ Ai ∩ Aj = Ø（i ≠ j）；
⑵ A1 U A2 U … U Am = X；
则称集合族π ={ A1, A2 , … , Am } 为集合X的一个划分。而子集A1, A2 , … , Am 称为这个划分的块。
定理：设X是一非空集合，R是X中的等价关系，则 R 的等价类集合{ [x]R | x∈ X }就是X的一个划分，
且称此集合为X在R下的商集，记为，即X/R = { [x]R | x∈ X } .
标签：关系,偏序,102422,R1,R2,二元关系,集合 来源： https://www.cnblogs.com/ZanderZhao/p/11019629.html