朴素贝叶斯分类:原理

贝叶斯原理是英国数学家托马斯·贝叶斯提出的。贝叶斯是个很神奇的人，他的经历类似梵高。生前没有得到重视，死后，他写的一篇关于归纳推理的论文被朋友翻了出来，并发表了。这一发表不要紧，结果这篇论文的思想直接影响了接下来两个多世纪的统计学，是科学史上著名的论文之一。

贝叶斯原理

贝叶斯为了解决一个叫“逆向概率”问题写了一篇文章，尝试解答在没有太多可靠证据的情况下，怎样做出更符合数学逻辑的推测。
什么是“逆向概率”呢？
所谓“逆向概率”是相对“正向概率”而言。正向概率的问题很容易理解，比如我们已经知道袋子里面有 N 个球，不是黑球就是白球，其中 M 个是黑球，那么把手伸进去摸一个球，就能知道摸出黑球的概率是多少。但这种情况往往是上帝视角，即了解了事情的全貌再做判断。

一个袋子里有10个球，其中6个黑球，4个白球；那么随机抓一个黑球的概率是0.6！

在现实生活中，我们很难知道事情的全貌。贝叶斯则从实际场景出发，提了一个问题：如果我们事先不知道袋子里面黑球和白球的比例，而是通过我们摸出来的球的颜色，能判断出袋子里面黑白球的比例么？

正是这样的一个问题，影响了接下来近 200 年的统计学理论。
这是因为，贝叶斯原理与其他统计学推断方法截然不同，它是建立在主观判断的基础上：在我们不了解所有客观事实的情况下，同样可以先估计一个值，然后根据实际结果不断进行修正。
假设有一种病叫做“贝叶死”，它的发病率是万分之一，现有一种测试可以检验一个人是否得病的准确率是 99.9%，它的误报率是 0.1%，那么现在的问题是，如果一个人被查出来患有“叶贝死”，实际上患有的可能性有多大？

问题分析：随机拉一个人进行检查，误报率是0.1%。那么如果一个人被检查患病，实际上患有的概率。也就是说，检查出患病准确率是99.9%，那么实际患病的概率是不是99.9%？

先验概率：
通过经验来判断事情发生的概率，比如说“贝叶死”的发病率是万分之一，就是先验概率。

后验概率：
后验概率就是发生结果之后，推测原因的概率。比如说某人查出来了患有“贝叶死”，那么患病的原因可能是 A、B 或 C。**患有“贝叶死”是因为原因 A 的概率就是后验概率。**它是属于条件概率的一种。

条件概率：
事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)。比如原因 A 的条件下，患有“贝叶死”的概率，就是条件概率。

似然函数（likelihood function）：

你可以把概率模型的训练过程理解为求参数估计的过程。似然在这里就是可能性的意思，它是关于统计参数的函数。

介绍完贝叶斯原理中的这几个概念，我们再来看下贝叶斯原理，实际上贝叶斯原理就是求解后验概率，我们假设：A 表示事件 “测出为阳性”, 用 B1 表示“患有贝叶死”, B2 表示“没有患贝叶死”。

患有贝叶死的情况下，测出为阳性的概率为 P(A|B1)=99.9%，没有患贝叶死，但测出为阳性的概率为 P(A|B2)=0.1%。
对万分之一的解读：。患有贝叶死的概率为 P(B1)=0.01%，没有患贝叶死的概率 P(B2)=99.99%。

那么我们检测出来为阳性，而且是贝叶死的概率 P(B1，A）–联合概率分布


然后我们想求得是检查为阳性的情况下，患有贝叶死的概率，也即是 P(B1|A)

朴素贝叶斯

朴素贝叶斯，它是一种简单但极为强大的预测建模算法。之所以称为朴素贝叶斯，**是因为它假设每个输入变量是独立的。**这个假设很硬，现实生活中根本不满足，但是这项技术对于绝大部分的复杂问题仍然非常有效。

朴素贝叶斯模型由两种类型的概率组成：
1、每个类别的概率P(Cj)；
2、每个属性的条件概率P(Ai|Cj)。

我们回归到贝叶死的案例中来，类型概率是患病，不患病；条件概率是：患病的条件下，被检查出阳性的概率，不患病的条件下，检查出阳性的概率（误诊的概率）。要求的被检查出阳性，那么患病的概率（贝叶斯是求后验概率–知道结果，推测原因的概率，“求什么什么是类别，其它的就是属性条件”！）

为了训练朴素贝叶斯模型，我们需要先给出训练数据，以及这些数据对应的分类。那么上面这两个概率，也就是类别概率和条件概率。他们都可以从给出的训练数据中计算出来。一旦计算出来，概率模型就可以使用贝叶斯原理对新数据进行预测。

贝叶斯原理、贝叶斯分类和朴素贝叶斯这三者之间是有区别的
贝叶斯原理是最大的概念，它解决了概率论中“逆向概率”的问题，在这个理论基础上，人们设计出了贝叶斯分类器，朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类器中的一种，也是最简单，最常用的分类器。朴素贝叶斯之所以朴素是因为它假设属性是相互独立的，因此对实际情况有所约束，**如果属性之间存在关联，分类准确率会降低。**不过好在对于大部分情况下，朴素贝叶斯的分类效果都不错。

离散数据案例

我以下面的数据为例，这些是根据你之前的经验所获得的数据。然后给你一个新的数据：身高“高”、体重“中”，鞋码“中”，请问这个人是男还是女？

男女就是类型，男C1，女C2;
属性条件：身高A1，体重A2，鞋码A3
那么我们想求在 A1、A2、A3 属性下，Cj 的概率，用条件概率表示就是 P(Cj|A1A2A3)。根据上面讲的贝叶斯的公式，我们可以得出：

因为一共有 2 个类别，所以我们只需要求得 P(C1|A1A2A3) 和P(C2|A1A2A3) 的概率即可，然后比较下哪个分类的可能性大，就是哪个分类结果。
等价于求 P(A1A2A3|Cj)P(Cj) 最大值

我们假定 Ai 之间是相互独立的，那么：

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