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组合排列练习题

作者:互联网

从网上下了一个word文档
应该没法引用吧,直接粘过来了
-------------------------神奇的分割线(为了增加大家的阅读体验,我自己手动分割题目了)
一、选择题
1.(2010•山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为(  )
A.40     B.50    
C.60     D.70
[答案] B
[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.

2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(  )
A.36种 B.48种
C.72种 D.96种
[答案] C
[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有(  )
A.6个 B.9个
C.18个 D.36个
[答案] C
[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有(  )
A.2人或3人
B.3人或4人
C.3人
D.4人
[答案] A
[解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2nC18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有(  )
A.45种 B.36种
C.28种 D.25种
[答案] C
[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.

6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有(  )
A.24种 B.36种
C.38种 D.108种
[答案] B
[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).

7.组合数Crn(n>r≥1,n,r∈Z)恒等于(  )
A.r+1n+1Cr-1n-1 B.(n+1)(r+1)Cr-1n-1
C.nrCr-1n-1 D.nrCr-1n-1
[答案] D
[解析] ∵Crn=n!r!×(n-r)!=n×(n-1)!r×(r-1)!×[(n-1)-(r-1)]!=nrCr-1n-1,故选D.

8.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(  )
A.33 B.34
C.35 D.36
[答案] A
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12•A33=12个;
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12•A33+A33=18个;
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.

9.(2010•四川理,10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(  )
A.72 B.96
C.108 D.144
[答案] C
[解析] 分两类:若1与3相邻,有A22•C13A22A23=72(个),
若1与3不相邻有A33•A33=36(个)
故共有72+36=108个.

10.(2010•北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有(  )
A.50种 B.60种
C.120种 D.210种
[答案] C
[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16•A25=120种,故选C.

二、填空题
11.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
[答案] 2400
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.

12.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)
[答案] 1260
[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49•C25•C33=1260(种)排法.

13.(2010•江西理,14)将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).
[答案] 1080
[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:C26•C24A22•A44=1 080种.

14.(2010•山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).
[答案] 72
[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.

三、解答题
15.(1)计算C98100+C199200;
(2)求20C5n+5=4(n+4)Cn-1n+3+15A2n+3中n的值.
[解析] (1)C98100+C199200=C2100+C1200=100×992+200=4950+200=5150.

(2)20×(n+5)!5!n!=4(n+4)×(n+3)!(n-1)!4!+15(n+3)(n+2),即(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)6=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n6+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,即5(n+4)(n+1)=90.

所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.

注意到n≥1且n∈Z,所以n=2.

[点拨] 在(1)中应用组合数性质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错误,因此,当m>n2时,特别是m接近于n时,利用组合数性质1能简化运算.
16.(2010•东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种?
[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,共有C36种亮灯办法.
然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2=160(种).

17.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?
(1)各组人数分别为2,4,6个;
(2)平均分成3个小组;
(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.
[解析] (1)C212C410C66=13 860(种);
(2)C412C48C44A33=5 775(种);
(3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有C412C48C44A33•A33=C412•C48•C44=34 650(种)不同的分法.

18.6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法?
(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?
(3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?
(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?
[解析] (1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A66•A47种不同排法.

(2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有A99种排法,若甲不在末位,则甲有A18种排法,乙有A18种排法,其余有A88种排法,
综上共有(A99+A18A18•A88)种排法.
方法二:无条件排列总数
A1010-甲在首,乙在末A88甲在首,乙不在末A99-A88甲不在首,乙在末A99-A88
甲不在首乙不在末,共有(A1010-2A99+A88)种排法.
(3)10人的所有排列方法有A1010种,其中甲、乙、丙的排序有A33种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种.
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有12A1010种排法.

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