积性函数+容斥

2019ICPC南昌邀请赛网络赛 G.tsy's number

题意

求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\phi(i)\phi(j^2)\phi(k^3)}{\phi(i)\phi(j)\phi(k)}\phi(gcd(i,j,k))\)
共T组数据，\(T\leq 10000\)，\(1\leq n \leq 10^7\)

题解

枚举gcd(i,j,k) = d，然后容斥一下
\[ \begin{align*} ans &= \sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum_{j=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum_{k=1}^{[\frac{n}{d}]} [gcd(i,j,k)==1]\frac{\phi(i*d)\phi((j*d)^2)\phi((k*d)^3)}{\phi(i*d)\phi(j*d)\phi(k*d)}\\ &= \sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{s=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu(s)\sum_{i=1}^{[\frac{n}{d*s}]}\sum_{j=1}^{[\frac{n}{d*s}]}\sum_{k=1}^{[\frac{n}{d*s}]} \frac{\phi(i*d*s)\phi((j*d*s)^2)\phi((k*d*s)^3)}{\phi(i*d*s)\phi(j*d*s)\phi(k*d*s)}\\ &= \sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{s=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu(s)\sum_{i=1}^{[\frac{n}{d*s}]}\frac{\phi(i*d*s)}{\phi(i*d*s)}\sum_{j=1}^{[\frac{n}{d*s}]}\frac{\phi((j*d*s)^2))}{\phi(j*d*s)} \sum_{k=1}^{[\frac{n}{d*s}]}\frac{\phi((k*d*s)^3)}{\phi(k*d*s)}\\ \end{align*} \]
可以归纳证明，
\[ \sum_{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\frac{\phi((i*d)^k)}{\phi(i*d)} = d^{(k-1)}* \sum_{i=1}^{[\frac{n}{d}]}i^{(k-1)} \]
所以
\[ \begin{align*} ans &= \sum_{d=1}^n\phi(d)\sum_{s=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu(s)* (d*s)^3*[\frac{n}{d*s}]* \sum_{i=1}^{[\frac{n}{d*s}]}i* \sum_{i=1}^{[\frac{n}{d*s}]}i^2 \end{align*} \]
设\(T=s*d\),则
\[ \begin{align*} ans &= \sum_{T=1}^n (T^3* [\frac{n}{T}]* \sum_{i=1}^{[\frac{n}{T}]}i* \sum_{i=1}^{[\frac{n}{T}]}i^2)* \sum_{d|T}\phi(d)* \mu(T/d) \end{align*} \]
前面一部分和它的前缀和显然可以预处理，后面是两个积性函数的狄利克雷卷积，设为f(T)，p为与T互质的质数，则有
\[ \begin{align*} f(p^k*T) &= \sum_{i=0}^k\sum_{d|T}\phi(p^i*d)* \mu(\frac{p^{k-i}* T}{d})\\ &= (\phi(p^k)-\phi(p^{k-1}))* f(T) \end{align*} \]
可以用线性筛预处理，然后就是\(\sqrt n\)的套路了，总复杂度为\(O(n+T*\sqrt n)\).

代码

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来源： https://www.cnblogs.com/7391-KID/p/10750919.html