【关系闭包】传递闭包 Warshall Floyd

（参考自：《离散数学》&  博客https://blog.csdn.net/ljhandlwt/article/details/52096932）

Warshall算法比较冷门，在这里不细说，贴个书上伪代码翻译过来的代码

 1     for(int i=0;i<maxn;++i) //行 
 2     for(int j=0;j<maxn;++j) //列 
 3     {
 4         if(Graph[i][j]){
 5             for(int k=0;k<maxn;++k){//在第i列中找
 6                 //遍历行
 7                 if(Graph[k][i])
 8                     Graph[k][j]=1;
 9             } 
10         }
11     }

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主要谈谈Floyd算法，因为之前做题的时候在一个坑上栽了很久： 

　　Floyd 的中转节点为最外层遍历！！

·遍历的次序 中转节点在最外层

 

For(k)   //中转节点

　　For(i) 

　　　　For(j)

　　　　　　If()  { 松弛 ；}

每次的松弛操作 val[i][j] = max/min(val[i][j], val[i][k]+val[k][j])，如果是将k放在最内层，则i和j之间的松弛是一遍松弛完，则只有在i和k，k和j间的权值都已经取到min或max时，才能实现i和j之间取到最值，然而这在大多数情况下是不能满足的。

而将中间点k放在最外层，那么在i到j的点集中（不含ij，假设是顺序编号，之后可以推广到非顺序编号，即将ij之间能连通的店自己默认编号），假设编号最大为m，那么在外层循环k取到m时，val[i][j]必然取到了最小值（以最小值为例，最大值类似）

 

用归纳法证明：

m1为i到h中的最大编号，m2为h到j中的最大编号--> i<m1<m2<j

假设结论成立，则k==m1时 val[i][h]已经取到最小值，k==m2时 val[h][j]已经取到最小值又因为m2是ij中编号最大的，m2是最后一次遍历，则执行松弛操作

　　val[i][j] = max/min(val[i][j], val[i][k]+val[k][j])

此时 ,由之前的推论val[i][k]和val[k][j]都已经取到最小值，那么对应的val[i][j]也取到其最小值

 

有时候，用Floyd来进行传递闭包的操作，同样要将节点的遍历放在最外边：

 若将k放在最里层，那么传递操作 val[i][j] |= val[i][k] & val[k][j] ，ij之间的传递只有一遍，那么则要保证i k之间k j之间已经达到最大连通时，ij传递操作后才能达到最大的连通，然而放在最内层大多数情况下不满足，只有放在最外层遍历才可以，证明与上边的类似，在这不赘述。

综上所述，Floyd的遍历，节点要放在最外层！！

 

 

 

标签：闭包,遍历,val,Warshall,ij,最小值,Floyd,编号
来源： https://www.cnblogs.com/GorgeousBankarian/p/10745641.html