0-1背包问题理解
作者：互联网
0-1背包问题：
n个商品（单个商品不可拆分），放入容量为 V 的购物车，如何才能让购物车中的商品总价最大？
书中介绍的动态规划解法是设 dp[i][j] 为前 i 号商品在容量为 j 的购物车中的最大价值，并自底向上求解。这种方法比较紧凑，但是不那么自然，难以想到利用商品编号 i 和容量 j 建立动态规划数组。
下面介绍一种思路较为自然直白的方法：
设 dp[i][j] 为第 i 号~第 j 号商品放入容量 V 的购物车所能产生的最大总价。vdp[i][j] 为 dp[i][j] 对应的商品占用购物车的容量。
则有：
1、dp[i][j] = 0 ; i == j && volume_i > V --- 只有一个商品且放不下
2、dp[i][j] = value_i ; i == j && volume_i <= V --- 只有一个商品且能放下
3、dp[i][j] = 0 ; j - 1 == 1 && volume_i > V && volume_j > V
4、dp[i][j] = value_i + value_j ; j - 1 == 1 && volume_i + volume_j <= V
5、dp[i][j] =value_i ; j - 1 == 1 && volume_i <= V && volume_j > V
6、dp[i][j] =value_j ; j - 1 == 1 && volume_i > V && volume_j <= V
7、dp[i][j] = max(dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + 0), i < k < j ; j - 1 > 1 && volume_k > V - (vdp[i][k-1] + vdp[k+1][j])
8、dp[i][j] = max(dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + value_k), i < k < j ; j - 1 > 1 && volume_k <= V - (vdp[i][k-1] + vdp[k+1][j])
这些情况看起来很复杂，但是我们可以稍作整理：
dp[i][j] = condition(i, V); i == j
dp[i][j] = value_i + value_j ; j - 1 == 1 && volume_i + volume_j <= V
dp[i][j] = max(condition(i, V), condition(j, V)) ; j - 1 == 1 && volume_i + volume_j > V
dp[i][j] = max(dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + condition(k, V - vdp[i][k-1] - vdp[k+1][j]))
其中
condition(k, vRemain) = 0; volume_k > vRemain
condition(k, vRemain) = value_k; volume_k <= vRemain
至此，已找到递归式，可以自底向上求解，代码如下：
测试用例，对于5个商品，放入容量为10的购物车
价值：6 3 5 4 6
体积：2 5 4 2 3
输出最大价值为17，占用体积为9
1 #include "iostream"
2 #include "vector"
3 #include "algorithm"
4
5 #define SIZE 10
6 #define INF 65535
7
8 using namespace std;
9
10 class Goods
11 {
12 public:
13 Goods(int value, int volume)
14 {
15 this->value = value;
16 this->volume = volume;
17 }
18 public:
19 int value;
20 int volume;
21 };
22
23 pair<int, int> condition(vector<Goods> &gArr, int k, int vRemain)
24 {
25 if (gArr.at(k).volume > vRemain)
26 {
27 return make_pair(0, 0);
28 }
29 else
30 {
31 return make_pair(gArr.at(k).value, gArr.at(k).volume);
32 }
33 }
34
35 void package(vector<Goods> &gArr, int volume)
36 {
37 int dp[SIZE][SIZE], vdp[SIZE][SIZE];
38 int size = gArr.size();
39 pair<int, int> result1, result2;
40
41 for (int begin = 0; begin < size; begin++)
42 {
43 for (int step = 0, i = 0, j = begin; step < size - begin; step++, i++, j++)
44 {
45 if (i == j)
46 {
47 result1 = condition(gArr, i, volume);
48 dp[i][j] = result1.first;
49 vdp[i][j] = result1.second;
50 }
51 else if (abs(i - j) == 1)
52 {
53 if (gArr.at(i).volume + gArr.at(j).volume <= volume)
54 {
55 dp[i][j] = gArr.at(i).value + gArr.at(j).value;
56 vdp[i][j] = gArr.at(i).volume + gArr.at(j).volume;
57 }
58 else
59 {
60 result1 = condition(gArr, i, volume);
61 result2 = condition(gArr, j, volume);
62 dp[i][j] = result1.first > result2.first ? result1.first : result2.first;
63 vdp[i][j] = (result1.first == 0 && result2.first == 0) ? 0 :
64 (result1.first > result2.first ? result1.second : result2.second);
65 }
66 }
67 else
68 {
69 for (int k = i + 1; k < j; k++)
70 {
71 result1 = condition(gArr, k, volume - (vdp[i][k - 1] + vdp[k + 1][j]));
72 dp[i][j] = dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + result1.first;
73 vdp[i][j] = vdp[i][k - 1] + vdp[k + 1][j] + result1.second;
74 }
75 }
76 }
77 }
78
79 cout << dp[0][size - 1] << endl;
80 cout << vdp[0][size - 1] << endl;
81 }
82
83
84 void main()
85 {
86 vector<Goods> gArr;
87 int maxVolume = 10;
88
89 gArr.push_back(Goods(6, 2));
90 gArr.push_back(Goods(3, 5));
91 gArr.push_back(Goods(5, 4));
92 gArr.push_back(Goods(4, 2));
93 gArr.push_back(Goods(6, 3));
94
95 package(gArr, maxVolume);
96 }
标签：volume,背包,vdp,value,问题,理解,&&,gArr,dp 来源： https://www.cnblogs.com/SHQHDMR/p/10705073.html