数学中最神奇的常数-无理数e的由来

2018-03-31 08:22    来源：九天教育

学过指数函数和对数函数的很多学生可能心中都存在着一个疑问，e是什么？我们为什么要研究它？下面我们一起来探究一下它的由来以及在实际生活中的应用。

首先我们在学习指数和对数函数（exponentials and logarithms）时，书上告诉我们的答案是e是一个无理数，它近似等于2.71828……，而且这个指数函数（exponential function）具有一个很好的性质——它的导数（gradient）图像和本身是重合的，即. 这些大家都知道了，可还是一头雾水的感觉，e到底是什么，为什么会有这样一个无理数呢？

我们先来看一个有趣的小故事：从前，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，年利率100%，即一年后利息1元，商人要连本带利还2元。财主一想，利息好多呢，如果半年结一次，利率就是50%,这样一年就连本带利=2.25元，也就是半年结一次账比之前的利息还要多。财主又想，如果一年结3次，4次，5次，……365次，……那岂不是要发财啦？财主继续算了一算，如果一年结3次，利率为1/3，一年之后连本带利是=2.37037……元；如果一年结算4次，利率为1/4，一年后连本带利是=2.44140元；财主激动地想，如果一年结算1000次，本利和是,看起来这么大的数，我岂不是要发了？OK，让我们来认真算一下，=2.71692元，看来是要令财主大失所望了。财主的想法是，结算次数越多，利息增长的也越快，可他却没预料到，确实是随着n的增大而增大的，但是增加的速率却是越来越小，而且不管n有多大，本利和永远不会超过一个确定的上限，这个上限就是2.71828……。因此科学家欧拉就把（即“”）记作e，即e=2.71828……，它是自然对数的底。

e在科学技术中用的非常多，以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。人们在研究一些实际问题，比如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究当x趋近于无穷时的极限，不管x趋向于正无穷还是负无穷，结果都趋向于一个常数e=2.71828……。

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