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博弈论 _ SG函数

作者:互联网

定义

SG函数是指:在有向图中,对于每个节点x,设从 \(x\) 出发共有\(k\)条有向边(直接相连的边),分别达到节点\(y_1,y_2……y_k\),
定义\(SG(x)\)为\(x\)的后继节点的\(SG\)值构成的集合执行\(mex()\)运算后的值

\(mex():\)设集合S是一个非负整数集合,mex(S)就是求不属于S的最小非负整数。

证明理解

定理:
对于一个图GG,如果SG(G)!=0SG(G)!=0,则先手必胜,反之必败

证明:
若SG(G)=!0SG(G)=!0,
1.根据性质2,先手必可以走向0,
2.因此留给后手的是0,根据性质3,后手只能走向非0
3.以此类推,后手始终无法走向0,后手永远处于非0,当先手到达终点的0时,先手获胜
(由此我们可以知道,有些事是命中注定的~~~)
反之同理,必败

模板代码


#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >

using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n,m;
int s[N], f[M];
int sg(int x){
  if(f[x]!=-1) return f[x];
  
  unordered_set<int> S;
  for(int i=0;i<n;i++)
  //如果可以减去s[i],则添加到S中
    if(x>=s[i]) S.insert(sg(x-s[i]));

  //求mex(),即找到最小并不在原集合中的数
  for(int i=0; ; i++)
    if(!S.count(i)) return f[x]=i;
}
void solve(){
   cin>>n;
   for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i];
   memset(f,-1,sizeof f);
   cin>>m;
   int ans=0;
   while(m--){
    int x;cin>>x;
    ans^=sg(x);
   }
   if(ans) puts("Yes");
   else puts("No");
} 

signed main(){
  int t=1;
  // cin>>t;
  while(t--)
  solve();
  return 0;
}

模板题

893. 集合-Nim游戏

题意
给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S。

现在有两位玩家轮流操作,每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子,每次拿取的石子数量必须包含于集合 S,最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

输入样例

2
2 5
3
2 4 7

输出样例

Yes

代码


#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pdd pair<double ,double >

using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n,m;
int s[N], f[M];
int sg(int x){
  if(f[x]!=-1) return f[x];

  unordered_set<int> S;
  for(int i=0;i<n;i++)
  //如果可以减去s[i],则添加到S中
    if(x>=s[i]) S.insert(sg(x-s[i]));

  //求mex(),即找到最小并不在原集合中的数
  for(int i=0; ; i++)
    if(!S.count(i)) return f[x]=i;
}
void solve(){
   cin>>n;
   for(int i=0;i<n;i++) cin>>s[i];
   memset(f,-1,sizeof f);
   cin>>m;
   int ans=0;
   while(m--){
    int x;cin>>x;
    ans^=sg(x);
   }
   if(ans) puts("Yes");
   else puts("No");
} 

signed main(){
  int t=1;
  cin>>t;
  while(t--)
  solve();
  return 0;
}

标签:return,函数,int,sg,博弈论,cin,ans,SG
来源: https://www.cnblogs.com/kingwz/p/16679003.html