不定积分 · 双元法初步
作者：互联网
双元法本质上是寻得一个或一组平方式. 其实只有两种情况: 要么 \(p^2+q^2=1\), 要么 \(p^2=q^2+1\).
\(1.\quad\)
\[\int \sqrt{1+x^2}\text dx \]利用
\[\int y\text dx=\frac12\int (y\text dx+x\text dy)+\frac12(y\text dx-x\text dy) \]就可以了.
\(2.\quad\)
\[\int\sqrt{\frac{x}{2+x^3}}\text dx \]构造双元
\[p=\sqrt{2+x^3},q=x^{\frac32} \]注意这种设法.
\(3.\quad\)
\[\int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^2}\text dx \]令 \(y=\sqrt{1+x^2}\)
\[\begin{aligned} \int \frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{x^2}\text dx&=-\frac{\ln(x+y)}{x}+\int\frac1x\cdot\frac{\text d(x+y)}{x+y}\\ &=-\frac{\ln(x+y)}{x}+\int\frac{\text dy}{x^2}\\ &=-\frac{\ln(x+y)}{x}-\text{arctanh}(y) \end{aligned} \]\(4.\quad\)
标签：frac,int,text,不定积分,sqrt,初步,ln,dx,元法 来源： https://www.cnblogs.com/Arcticus/p/16676024.html