后缀数组（SA）学习笔记

后缀数组是一个很强的字符串算法，可以解决众多有关子串的问题。

定义

已知一个字符串 \(S\)，那么定义 \(S_i\) 表示 \(i...n\) 形成的后缀。

\(sa_i\) 表示把这些后缀按字典序排序后，排名第 \(i\) 的串的起始下标。

\(rk_i\) 表示把排序后 \(S_i\) 的排名，可以发现 \(rk_{sa_i}=i\)。

\(\text{lcp}(S,T)\) 表示 \(S,T\) 的最长公共前缀长度。

\(h_i\) 表示 \(\text{lcp}(S_{sa_i},S_{sa_{i-1}})\)，也就是排序后相邻两个串的 \(\text{lcp}\)。

求法

• \(O(n^2\log n)\) 做法

直接暴力快拍，不讲。

• \(O(n\log n)\) 做法。

这里要用倍增的思想，考虑枚举一个 \(w\)，然后把 \(S_i\) 重新定义为 \([i,i+w-1]\) 构成的字符串，那么每次 \(w\) 乘 \(2\)，比较两个字符串时只需要拆成两个字符串比较即可。

给个经典图：

直接快排就是 \(O(n\log^2n)\) 的了。

考虑优化，这个东西本质上是一个双关键字排序，因此可以直接采用基数排序。

先第二关键词排序，然后第一关键字排序即可，注意需要用稳定排序，复杂度 \(O(n\log n)\)

const int N=1e6+5;
struct SA{
	void get_sa(int n,int m){//长度为 n，值域为 [1,m]
		m=max(n,m);for(int i=1;i<=n;i++)cnt[rk[i]=a[i]]++;//开始时排名为a[i]，开桶直接统计出现多少次
		for(int i=1;i<=m;i++)cnt[i]+=cnt[i-1];
		for(int i=n;i;i--)sa[cnt[rk[i]]--]=i;//从大到小做，相对顺序不变
		for(int w=1;w<n;w*=2){//倍增枚举长度
			memset(cnt,0,sizeof(cnt));int t=0;
			for(int i=n;i>n-w;i--)id[++t]=i;//这里以第二关键字排序，也就是按 rk[i+w] 排序，排序结果是 id[i]
			for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>w)id[++t]=sa[i]-w;
			for(int i=1;i<=n;i++)cnt[rk[i]]++;//然后按第一关键字排序，注意要使用 id[i] 保持顺序
			for(int i=1;i<=m;i++)cnt[i]+=cnt[i-1];
			for(int i=n;i;i--)sa[cnt[rk[id[i]]]--]=id[i];
			t=0;memcpy(tmp,rk,sizeof(rk));
			for(int i=1;i<=n;i++)if(tmp[sa[i]]==tmp[sa[i-1]]&&tmp[sa[i]+w]==tmp[sa[i-1]+w])rk[sa[i]]=t;else rk[sa[i]]=++t;//相同的 rk 取值一样
		}
	}
	int a[N],cnt[N],tmp[N],rk[N],sa[N],id[N];
};

然后考虑 \(h\) 怎么求。

首先是一个引理：

\[h[rk[i-1]]-1\le h[rk[i]] \]

这个证明就是考虑 \(S_{i-1}\) 和 它匹配的串，假设 \(\text{lcp}\) 为 \(aA\)，这里 \(a\) 是一个字母，\(A\) 是一个字符串，也就是 \(S_{i-1}=aAB\) 这样的形式，与其匹配的串就是 \(aAC\) 的形式。

那么考虑 \(S_i=AB\)，那么与 \(S_{i-1}\) 匹配的也至少会有一个 \(AC\) 的后缀，显然这个也会排在 \(S_i\) 的前面，又由于是按字典序排序，因此至少也会有一个 \(A\) 的 \(\text{lcp}\)，上面的得证。

那么求法也很简单，直接枚举 \(i\)，转移前面的答案，然后暴力向后看是否能扩展，复杂度容易证明为 \(O(n)\)。

for(int i=1,t=0;i<=n;i++){
	if(t)t--;
	while(a[i+t]==a[sa[rk[i]-1]+t])t++;
	h[rk[i]]=t;
}

应用

• 查询一个串作为子串出现的位置

既然是子串，那么一定作为一个后缀的前缀出现，又因为已经按照字典序排序了，所以可以直接二分一下暴力判，单次复杂度 \(O(n\log n)\)，劣于 SAM。

• 查询一个串作为子串出现次数

可以发现在后缀数组上一定是一个区间，所以可以直接二分左右端点即可，同样劣于 SAM。

• 询问两个后缀的 \(\text{lcp}\)

有一个简单的二分 + hash 做法，复杂度 \(O(\log n)\)。

这个也比较简单，考虑以前缀方式出现的一定是一个区间，因此就相当于相邻两个做然后取 \(\min\) 即可，也就是对区间 \(h\) 求 \(\min\)，用 st 表，复杂度 \(O(1)。\)

• 不同子串个数，P2408

考虑一个串在那些地方会重复出现，显然是作为前缀出现，那么就是在一个区间中，因此直接考虑每个后缀与前面一个重复的前缀数即可。

所以答案就是 \(\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^n h_i\)。

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P2852 \(\color{green}\bigstar\)

已知一个字符串 \(S\)，求所有出现次数至少为 \(k\) 的子串的长度最大值。

\(n\le 20000\)。

ez 题，直接考虑一个子串一定是一个区间的前缀，那么直接对于所有长度为 \(k\) 的区间求最小值然后找最大即可。

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P1117 \(\color{Gold}\bigstar\)

已知一个串 \(S\)，求有多少个子串可以表示为 AABB 的形式。

\(n\le 30000\)。

首先有一个很简单的 hash 暴力做法，复杂度 \(O(n^2)\)，有 \(95\)，流汗黄豆。

考虑记录 \(f_i\) 表示 \(i\) 结尾的形如 AA 的串的个数，那么可以只需要倒着再做一遍两边合并就可以得到答案。

但是这个东西不会做。

正解很牛，考虑枚举 AA 串中 A 的长度为 \(len\)，然后每 \(len\) 个点中标记最后一个点，这样可以发现所有选子串方案一定经过两个被标记的点。

画一下图

圆就是标记点，竖线是 AA 的中点，可以发现圆点向左的箭头两个子串相等，向右的也一样。

因此就是求公共前缀和公共后缀，然后算一下合法的方案，那么就是区间加即可。

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P2870 \(\color{green}\bigstar\)

有一个长度为 \(n\) 的串，每次可以开头取一个或者结尾取一个，求拼成的字典序最小的字符串。

\(n\le 5\times 10^5\)。

考虑如果左右不相等显然直接取小的，但如果相等呢。

考虑对比 \(i,j\)，那么就是 \([i,n]\) 与 \([1,j]\) 翻转的结果比较字典序，也就是 \(S\) 与 \(S\) 翻转后的结果一起进行后缀排序。

考虑两个串怎么一起搞，简单的做法是接在后面，中间放一个特殊字符即可。

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P2178 \(\color{gray}\bigstar\)

题比较长，自己看吧。

简单题，考虑上面 \(\text{lcp}\) 是区间的那个东西，因此相当于 \(r\) 递减，就是连一些边，答案直接用并查集维护即可，我用了暴力启发式合并。

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P4248 \(\color{green}\bigstar\)

已知一个串 \(S\)，求对于所有 \(i<j\)，求 \(\sum len(S_i)+len(S_j)-2\times \text{lcp}(S_i,S_j)\)。

\(n\le 5\times 10^5\)。

相当于只需要算后面那个东西，也就是区间 \(\min\) 求和，这个东西可以用单调栈简单维护即可。

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标签：子串,lcp,后缀,text,笔记,int,SA,排序
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