矩阵的运算

2022-09-06 18:01:00 作者：互联网

矩阵的加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘
方阵的幂运算
方阵的多项式
线性方程的矩阵表示
矩阵的转置
对称矩阵、反对称矩阵
矩阵的逆

矩阵的加法

定义:

设 \(A=(a_{ij})、B=(b_{ij})\) 均为 \(m\times n\) 矩阵，将它们的对应位置元素相加得到的 \(m\times n\) 矩阵，称为矩阵 \(A\) 与 \(B\) 的和，记为 \(A+B\)，即

\[A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}. \]

注：只有同型矩阵之间才能进行加法运算.

矩阵加法的运算律:

交换律 \(A+B=B+A\)
结合律 \((A+B)+C=A+(B+C)\)

负矩阵:

设矩阵 \(A=(a_{ij})\)，将 \(A\) 的各元素变号得到的矩阵称为 \(A\) 的 负矩阵，记作 \(-A\) ，即 \(-A=(-a_{ij})\) .

矩阵的减法

矩阵的减法为 \(A-B=A+(-B)\) ，亦即两个矩阵对应的元素相减

有关加减法的恒等式:

\(A-A=A+(-A)=O\)

\(A+O=O+A=A\)

其中 \(O\) 为与 \(A\) 同型的零矩阵.

数与矩阵相乘

设 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，数 \(\lambda\) 与矩阵 \(A\) 的各元素相乘所得到的矩阵，称为数 \(\lambda\) 与矩阵 \(A\) 的乘积，记为 \(\lambda A\). 数与矩阵相乘简称为数乘，即

\[\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn} \end{pmatrix} \]

规定 \(\lambda A=A\lambda\) .

由定义得：\(0A=O\)，\(1A=A\) .

数乘矩阵的运算律：

结合律 \((\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\)
分配律

\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)

\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)

矩阵加法与数乘运算合起来，统称为矩阵的 线性运算

矩阵与矩阵相乘

定义

设矩阵 \(A=(a_{ij})_{m\times s}\) 的列数与矩阵 \(B=(b_{ij})_{s\times n}\) 的行数相等，则由元素

\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum^s_{k=1}a_{ik}b_{{kj}}\\ (i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n) \]

构成的 \(m\times n\) 矩阵 \(C=(c_{ij})_{m\times n}\) 称为矩阵 \(A\) 与矩阵 \(B\) 的乘积，记为 \(C=AB\)

注意：两个矩阵相乘的前提是左矩阵的列数等于右矩阵的行数.

例子

设 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)，求 \(AB,BA,AC\) .

解

\[\begin{flalign}& AB=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\\& \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}1\times1+1\times(-1)&1\times(-1)+1\times1\\-1\times1+(-1)\times(-1)&-1\times(-1)+(-1)\times1\end{pmatrix}\\& \ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix};\\& BA=\begin{pmatrix}2&2\\-2&-2\end{pmatrix};\\& AC=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \end{flalign} \]

矩阵乘法的运算律

一般地，称 \(AB\) 为 \(A\) 左乘 \(B\)（或 \(B\) 被 \(A\) 左乘），称 \(BA\) 为 \(A\) 右乘 \(B\)（或 \(B\) 被 \(A\) 右乘）.

矩阵的乘法不满足交换律，即 \(AB\ne BA\) .

设 \(A,B\) 均为 \(n\) 阶方阵，若 \(AB=BA\)，则称方阵 \(A\) 与 \(B\) 是 相乘可换 的.

由上面的例子可见，矩阵 \(A\ne O,B\ne O\)，但可能有 \(AB=O\)，即由 \(AB=O\) 不能得出 \(A=O\) 或 \(B=O\)；依据上述结论，显然若 \(A(B-C)=O\) 而 \(A\ne O\)，不能得出 \(B=C\) 的结论，即若 \(AB=AC\)，不能推出 \(B=C\)，因此，矩阵乘法消去律不成立.

矩阵乘法满足以下运算律：

结合律 \((AB)C=A(BC)\)
数乘结合律 \(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
左分配律 \(A(B+C)=AB+AC\)
右分配律 \((B+C)A=BA+CA\)

对任意一个实数 \(x\)，有 \(1\times x=x\times1=x\)，一般称 \(1\) 是单位元. 这一概念可以推广到矩阵上.

设 \(A\) 是一个 \(m\times n\) 矩阵，由于 \(E_mA_{m\times n}=A_{m\times n}=A_{m\times n}E_n\)，则称 \(E_m\) 为矩阵 \(A\) 的 左单位元，称 \(E_n\) 为矩阵 \(A\) 的 右单位元. 如果 \(A\) 是一个 \(n\) 方阵，则 \(E_m=E_n\)，即左、右单位元相等，\(E_n\) 称为矩阵 \(A\) 的 单位元.

方阵的幂运算

定义

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则 \(A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k个}\) 称为方阵 \(A\) 的 \(k(k\in \Z^+)\) 次幂.

方阵幂运算满足的运算律

\(A^kA^l=A^lA^k=A^{k+l}\)
\((A^k)^l=(A^l)^k=A^{kl}\)

若 \(A\) 与 \(B\) 相乘可换，则

\((AB)^k=A^kB^k(k\in\Z^+)\)
\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)
\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)

方阵的多项式

与 \(x\) 的代数多项式 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) 类似，由方阵幂的定义，可以定义出方阵的多项式。

方阵 \(A\) 的多项式

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵

\(f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0E\)

\(a_i(i=0,1,\cdots,m,m\in\Z^+)\) 是常数

记为 \(f(A),g(A),h(A)\) 等

方阵多项式也有类似的因式分解：

例如，

\(f(A)=A^3+A^2-6A=A(A^2+A-6E)=A(A-2E)(A+3E)\)

\(g(A)=A^5-E=(A-E)(A^4+A^3+A^2+A+E)\)

线性方程的矩阵表示

设有 \(n\) 个未知数、\(m\) 个方程的线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases} \]

系数矩阵

\[A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} \]

未知数向量

\[x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix} \]

常数项向量

\[b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_m \end{pmatrix} \]

增广矩阵

\[\overline A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{pmatrix} \]

根据矩阵乘法，有

\[\begin{flalign} & Ax=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}_{m\times n} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}_{n\times1}\\& \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}\\ \end{pmatrix}_{m\times1}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}_{m\times1} \end{flalign} \]

由矩阵相等的定义，线性方程组也可表示为矩阵形式

\[Ax=b \]

该式称为 矩阵方程，则 \(x\) 也称为矩阵方程的 解向量.

又如 \(AX=B,XA=B,AXB=C(A,B,C为元素已知的矩阵，X为元素未知的矩阵)\)，这些都是 矩阵方程.

矩阵的转置

将矩阵 \(A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}\) 的行与列互换，得到矩阵 \((a_{ij})_{n\times m}\)，称为矩阵 \(A\) 的转置矩阵，记作 \(A^T\)

例如，

若 \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}_{2\times3}\)，则 \(A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\).

矩阵的转置满足以下运算律

\((A^T)^T=A\)
\((A+B)^T=A^T+B^T\)
\((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
\((AB)^T=B^TA^T\)

对称矩阵、反对称矩阵

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，若 \(A^T=A\)，即 \(a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)\)，则称 \(A\) 为 \(n\) 阶对称矩阵

若 \(A^T=-A\)，即 \(a_{ij}=-a_{ji}(i,j=1,2,\cdots,n)\)，则称 \(A\) 为 反对称矩阵

对称矩阵以主对角线为对称轴对应元素相等，

在反对称矩阵中，由 \(a_{ii}=-a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)\)，得到 \(a_{ii}=0\)，即反对称矩阵中主对角线元素都等于 \(0\) .

例如，\(\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\) 是对称矩阵，\(\begin{pmatrix}0&-2&0\\2&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}\) 是反对称矩阵.

例

设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶对称矩阵，证明 \(AB\) 是对称矩阵的充分必要条件是 \(AB=BA\).

证由于 \(A,B\) 均是对称矩阵，所以 \(A^T=A,B^T=B\) .

若 \(AB=BA\) ，则有 \((AB)^T=B^TA^T=BA=AB\) 所以 \(AB\) 是对称矩阵

反之，若 \(AB\) 是对称矩阵，则有 \(AB=(AB)^T=B^TA^T=BA\) ，所以 \(AB=BA\) .

矩阵的逆

对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，若存在一个同阶矩阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=E\)，则称矩阵 \(A\) 为 可逆矩阵，矩阵 \(B\) 称为 \(A\) 的 逆矩阵

注意：

若矩阵 \(A\) 可逆，则 \(A\) 的逆矩阵是唯一的，\(A\) 的逆矩阵记为 \(A^{-1}\)
只有方阵才有逆矩阵

性质1

若 \(A\) 可逆，则 \(A^{-1}\) 亦可逆，且 \((A^{-1})^{-1}=A\)

性质2

若 \(A\) 可逆，数 \(\lambda\ne0\) ，则 \(\lambda A\) 可逆，且 \((\lambda A)^{-1}=\frac1\lambda A^{-1}\) .

性质3

若 \(A,B\) 为同阶矩阵且均可逆，则 \(AB\) 亦可逆，且 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{{-1}}\) .

推广 \((A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}\cdots A_2^{-1}A_1^{-1}\) .

性质4

若 \(A\) 可逆，则 \(A^T\) 也可逆，且 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}\)

性质5

若 \(A\) 是可逆矩阵，则 \(A\) 的任一行（列）的元素不全为零。

当 \(A\) 可逆时，定义

\(A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^k(k为正整数)\)

当 \(\lambda,\mu\) 为整数时，有

\(A^\lambda A^\mu=A^{\lambda+\mu},(A^\lambda)^\mu=A^{\lambda\mu}\)

标签：AB,end,运算,矩阵,cdots,pmatrix,lambda
来源： https://www.cnblogs.com/CegghnnoR/p/16662772.html